دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

...« نیکولاس برنولی 2 : Nicolaus Bernoulli(II) »...

تولد : ششم فوریه 1695 در بازل (Basel ) ، سویتزرلند (Switzerland )​

درگذشت : سی و یکم ژولای 1726 در ایالت پیترزبورگ (St Petersburg )، روسیه (Russia )​

​

​

نیکولاس برنولی دوم نورچشمی یوهان برنولی در بین سه پسرش بود . او زمانی که فقط 13 سال داشت، وارد دانشگاه بازل شد و مثل دیگر اعضای خانواده اش ریاضیات و حقوق خواند. در سال 1715 دارای گواهی نامه علم حقوق شد.
نیکولاس با مکاتباتی که با پدرش داشت، در کارهایش از او یاری می خواست. او به ویژه درگیر نوشتن نامه هایی در مورد اختلاف نظرهای اساسی معروف بین نیوتن (Newton ) و لایبنیتز (Leibniz ) بود. او نه تنها در مورد این اختلاف نظر ها به تیلور ( Taylor ) پاسخی نوشت، بلکه زمانی که در مورد مباحث ریاضی مورد اختلاف کار می کرد، مقاله ریاضی مهمی درباره ی مشکل مسیرها نوشت.
نیکولاس در مورد منحنی ها، معادلات دیفرانسیل و احتمال کار کرد. او هشت ماه پس از اینکه در پیترزبورگ (St Petersburg ) به مقامی منصوب شد، در جوانی و در زمانی که استعداد او نویدهای زیادی برای آینده داشت، درگذشت.
فلکستین درباره ی نیکولاس برنولی دوم می نویسد :
... « ... او به همراه برادرش دنیل به فرانسه و ایتالیا سفر کرد، جایی که هر دوی آن ها مفامی در دانشکده پیترزبورگ به دست آوردند. در عرض یک سال، به بیماری دچار شد و بر اثر آن درگذشت. »...

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

یوهان برنولی
Johann Bernoulli

تولد : 27 ژولای 1667 ؛ باسل ( Basel ) ، سویتزرلند ( Switzerland )​

وفات : 1 ژانويه 1748 ؛ باسل ( basel ) ، سویتزرلند ((Switzerland یوهان برنولی ( Johann Bernoulli ) دهمین فرزندِ نیکولاس ( Nicolaus ) و مارگارتا ( Margaretha ) برنولی و برادر ِ ژاکوب برنولی ( Jacob ) البته دوازده سال از کوچکتر او؛ بود، یعنی زمانی که ژاکوب مرد جوانی به حساب می آمد، یوهان هنوز کودک بود. این دو برادر تأثیر مهمی در پیشرفت ریاضیات بر یکدیگر داشتند و مخصوصاً این واقعیت وجود دارد که در اولین سال ها، یوهان، با مشاهده ی اینکه ژاکوب برخلاف تمایلات والدینشان، به سمت و سوی ریاضیات متمایل شده است؛ بسیار تحت تأثیر او قرار گرفته بود. یوهان در زندگی نامه اش، به عنوان یک فرزند، درباره ی والدینش چنین می نویسد :

...« ... آن ها برای اینکه من به تحصیلات شایسته ای، در هر دو زمینه ی اخلاقی و مذهبی برسم، از هیچ تلاش و هزینه ای دریغ نکردند ... » ...​

این مذهب پیرو کالوینیسم (Calvinist) بود که که پدربزرگ و مادربزرگش را به خاطر دوری از مشقات مذهب، وادار به فرار از آنتورپ (Antwerp) کرد.
نیکولاس و مارگارتا برنولی سعی داشتند که یوهان را در مسیر کارهای تجاری قرار دهند اما آینده ی یوهان در تجارت، با وجود فشارهای زیاد پدرش، اصلاً مناسب به نظر نمی رسید. او دوست داشت یوهان تجارت خانوادگی ادویه را دنبال کند. یوهان در سال 1682، هنگامی که فقط 15 ساله بود، یک سال در تجارت ادویه فعالیت کرد و چون این کار را دوست نداشت، کارش را به خوبی انجام نمی داد. سرانجام پدرش در سال 1683، با اکراه فراوان قبول کرد که یوهان وارد دانشگاه باسل شود. رشته ای که یوهان می بایست در آن تحصیل می کرد، پزشکی بود؛ رشته ای که بسیاری از افراد خانواده اش برخلاف علاقه ای که به ریاضیات و فیزیک داشتند، تحصیلاتشان را در آن به پایان رساندند.
یوهان در دانشگاه باسل رشته ی پزشکی را انتخاب کرد ولی با کمک برادرش ژاکوب، ریاضیات تحصیل می کرد. زمانی که یوهان وارد دانشگاه باسل شد، ژاکوب مدرس فیزیک تجربی ِ همان دانشگاه بود و خیلی زود مشخص شد که بیشتر وقت یوهان به همراه برادرش صرف مطالعه مقالات لایبنیتز (Leibniz) در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال می شود. یوهان در مهارت های ریاضی، پس از دو سال همراهی با برادرش در مقالات ریاضی، همسطح او شد.
اولین کتاب یوهان که مطمئناً در مورد ریاضی نبود ، در سال 1690 درمورد فرآیند تخمیر بود اما در سال 1691 به ژنوا (Geneva) رفت که در آن جا در مورد حساب دیفرانسیل سخنرانی کرد. یوهان در ادامه ی مسیرش از ژنوا رهسپار پاریس شد و با ریاضی دانان محفل ملبرانچ (Malebranche) که در آن زمان مورد توجه ریاضی دانان فرانسه بود، ملاقات کرد. یوهان در آن جا با هوپیتال (de l'Hôpital) ملاقات کرد و گفتگوی عمیقی در مورد ریاضیات با هم داشتند. برخلاف آنچه امروزه گفته می شود، هوپیتال ، هر چند ریاضی دان خوبی بود و شاید بهترین ریاضی دان آن زمان پاریس بود، اما در سطح یوهان برنولی نبود.
هوپیتال از اینکه پی برده بود یوهان برنولی روش های حساب دیفرانسیل جدید لایبنیتز که در آثارش چاپ شده است را به خوبی استنباط کرده است، خوشحال بود و از او خواست که این روش ها را به او آموزش دهد. یوهان با این کار موافقت کرد و این درس ها هم درپاریس و هم در خانه ی روستایی هوپیتال در اوکوئس (Oucques) ارائه شد. برنولی مبالغ فراوانی از هوپیتال به خاطر این دروس دریافت می کرد و به راستی خیلی ثروتمند بودند زیرا که افراد کمی توانایی پرداخت این مبالغ را داشتند. بعد از اینکه برنولی به باسل برگشت ، هنوز هم با مکاتبه، ارائه دروس حساب دیفرانسیل را ادامه می داد و این کار برای هوپیتال که نصف حقوق یک پروفسور را جهت تعلیم به برنولی می پرداخت، ارزان تمام نمی شد. با این وجود این کار جایگاه هوپیتال را در تاریخ ریاضیات تضمین کرد، چرا که او اولین کتاب حساب دیفرانسیل را با نام « Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes » درسال 1696 منتشر کرد که بر پایه ی دروسی که یوهان برنولی برایش فرستاده بود؛ بنا شده بود.

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

... « جرج فردیک برنارد ریمان : Georg Friedrich Bernhard Riemann » ...​

​

ولادت : 17 سپتامبر 1826 در برستلر ( Breselenz ) ، هانوفر ( Hanover ) ؛ ( آلمان امروزی )
​

درگذشت : 20 ژولای 1866 در سیلا سکا ( Selasca ) ، ایتا لیا ( Italy )​

​

پدر برنارد ریمان ، فردریک برنارد ریمان ، یک کشیش بود که در میانسالی با کارلوت ابل ( ( Charlotte Ebell ازدواج کرد. فردریک 6 فرزند ، 2 پسر و 4 دختر داشت که برنارد دومین فرزندش بود. فردریک تا ده سالگی خود به عنوان معلم به برنارد درس می داد . همچنین معلمی از مدرسه ی محلی در آموزش برنارد به او کمک می کرد.​

برنارد در سال 1840 مستقیما ً وارد کلاس سوم در لیکوم ( Lyceum ) هانوفر شد. تا زمانی که در لیکوم تحصیل می کرد با مادر بزرگش زندگی می کرد تا اینکه مادربزرگش در سال 1842 در گذشت و به عنوان دانشجوی سال آخر به لونبرگ ( Luneburg ) منتقل شد. به نظر می رسید برنارد دانش آموز خوب ونه ممتاز و در موضوعات کلاسیک مانند زبان عبری و الهیات سخت کوش بوده است. او علاقه ویژه ای به ریاضیات نشان داد و سرپرست دبیرستان به او اجازه داد که متون ریاضی را در کتابخانه اش مطالعه کند. در فرصتی مناسب او کتاب لژاندر ( Legendre ) را که درباره ی تئوری اعداد بود به برنارد قرض داد و برنارد این کتاب 900 صفحه ای را در مدت 6 روز خواند.​

ریمان در بهار سال 1846 در دانشگاه گوتینگن ( Gottingen ) ثبت نام کرد. پدرش او را به تحصیل الهیات تشویق کرد و بنابراین او وارد دانشکده ی الهیات شد. با این وجود او در برخی از کلاسهای ریاضیات حضور یافت و از پدرش خواست که آیا می تواند برای خواندن ریاضیات به دانشکده ی فلسفه برود. ریمان همیشه رابطه ی نزدیکی با خانواده اش داشت و هرگز بدون اجازه ی پدرش تغییر رشته نمی داد. پدرش با درخواست او موافقت کرد و این برای ریمان بسیار عالی بود. ریمان دوره هایی را در ریاضیات از موریتز استرن ( Moritz stern ) و گاوس ( Gouss ) فرا گرفت.​

به نظر می رسد برنارد جایگاه مناسبی در گوتینگن برای مطالعه ی ریاضیات دارد، اما در آن زمان دانشگاه گوتینگن جایگاه نسبتا ً پایینی در ریاضیات داشت. با این که گاوس دبیر ریمان بود اما تنها دوره ی مقدماتی را به او یاد داد و هیچ دلیلی وجود نداشت که در این مدت به نبوغ ریمان در ریاضیات پی ببرد. با این وجود مطمئنا ً استرن پی برده بود که دانش آموز ممتازی دارد زیرا که بعدها در وصف ریمان چنین گفته است :​

... « ... تا کنون همچون قناری نغمه سرایی کرده است. » ...​

ریمان در بهار 1847 از گوتینگن به دانشگاه برلین ( Berlin University ) رفت تا زیر نظر اساتیدی چون استینر ( Steiner ) ، ژاکوبی ( Jacobi ) ، دیریکله ( Dirichlet ) و آیزنشتاین ( Eisenstein ) تحصیل کند که یک فرصت مهم برای ریمان به شمار می رفت. اگر چه او بیشتر از آیزنشتاین یاد گرفت و استفاده از متغییرهای مختلط در تابع بیضوی را مورد بحث قرار داد اما دیریکله تأثیرگذارترین شخص بر او در این زمان بود. کلین ( Klein ) در این باره می گوید : ​

...« ریمان با یک همفکری درونی قوی به دیریکله وابسته بود . دیریکله دوست داشت که همه چیز را با یک زمینه شهودی برای خود مشخص سازد. در کنار این تحلیل های منطقی و دقیق سؤالات اساسی ارائه می داد و تا حد ممکن از محاسبات طولانی خودداری می کرد. ریمان با این رفتارش موافق بود و آن را پذیرفته بود و مطابق با روش های دیریکله فعالیت می کرد »...​

کار ریمان همواره بر اساس استنباط شهودی بود که احساس می شد دقت لازم برای نتیجه گیری بی چون و چرا را ندارد. با وجود این نظریات عالی در کارهایش بسیار واضح تراست چون کارهایش خیلی با محاسبات طولانی پر نشده است. زمانی که در دانشگاه برلین بود تئوری کلی متغیرهای مختلط را بررسی کرد که اساس بعضی از کارهای بسیار مهمش را تشکیل می داد. ​

ریمان در سال 1849 به گوتینگن برگشت و پایان نامه ی Ph.D او (دکتری) که گاوس را متعجب ساخت در سال 1851 ارائه شد. با این وجود گاوس تنها شخص تاثیر گذار بر ریمان نبود. وبر ( Weber ) در مدتی که ریمان در برلین بود، از لیپزیگ ( Leipzig ) به استادی ِ فیزیک در گوتینگن برگشته بود و ریمان به مدت 18 ماه همکارش بود . همچنین لیسینگ ( Listing ) در سال 1849 به عنوان استاد فیزیک در گوتینگن برگزیده شده بود. ریمان از وبر و لیسینگ پیش زمینه ی قوی از فیزیک نظری و از لیسینگ ایده های مهمی در مورد توپولوژی به دست آورد که در تحقیقات جدیدش موثر بود.​

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)


..« جورج فردیناند لودیگ فیلیپ کانتور :

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor »...

تولد : سوم مارس 1845 در پیترزبورگ (St Petersburg )؛ روسیه (Russia )​

​

درگذشت : ششم ژانويه 1918 در هاله (Halle )؛ آلمان (Germany )​

​

​

جورج والیدمر کانتور (Georg Waldemar Cantor ) ، پدر جورج کانتور، یک تاجر موفق بود که به عنوان یک عامل عمده فروش در پیترزبرگ و بعدها به عنوان یک دلال در بورس سهام پیترزبورگ کار می‌کرد. جورج والیدمر کانتور زاده‌ی دانمارک ( Denmark ) بود و عمیقاً به فرهنگ و هنر عشق می‌ورزید. ماریا آنّـا بـوم (Maria Anna Böhm ) ، مادر کانتور، روسی و بسیار اهل موسیقی بود. مطمئناً جورج استعداد قابل توجهی در موسیقی و هنر از والدینش به ارث برده بود چرا که او نیز ویلون زن برجسته‌ای بود. جورج درحالی که مادرش کاتولیک بود، پرورش یافته‌ی مذهب پدری‌اش؛ پروتستان بود.

​

کانتور تحصیلات مقدماتی را در خانه توسط یک معلم خصوصی فراگرفت و پس از آن در پیترزبورگ به مدرسه‌ی ابتدایی رفت. او به همراه خانواده‌اش در سال 1856 ، زمانی که فقط یازده ساله بود؛ به آلمان کوچ کردند. با این وجود :
...«...او هرچند بقیه‌ی عمرش را در آلمان زندگی کرد و ظاهراً هرگز به زبان مادری‌اش چیزی ننوشته بود، اما با احساس غربت فراوانی سال‌های اولیه عمرش در روسیه را به یاد می‌آورد و هرگز در آلمان احساس آرامش نمی‌کرد...»...
پدر کانتور سلامتی خوبی نداشت و با رفتن به آلمان، با آب و هوایی گرمتر از زمستان‌های سخت پیترزبورگ روبرو شد. آن‌ها در ابتدا در ویسبادن (Wiesbaden ) ساکن شدند، جایی که کانتور ژیمناستیک (Gymnasium) یاد گرفت؛ پس از آن به فرانکفورت (Frankfurt ) نقل مکان کردند. کانتور در شهر دارمسد (Darmstadt ) در مدرسه Realschule به صورت شبانه روزی تحصیل می‌کرد. در سال 1860 با یک کارنامه‌ی عالی از آن جا فارغ التحصیل شد. کارنامه‌ای که استعدادهای خارق العاده‌ی او را در ریاضیات و به ویژه در مثلثات، به خوبی نشان می‌داد. پس از کسب مدرکی از Höhere Gewerbeschule در شهر دارمسد در سال 1860 ، در سال 1862 وارد دانشگاه پلیتکنیک زوریخ (Polytechnic of Zurich ) شد. دلیل آن که پدر کانتور Höhere Gewerbeschule را برای پسرش انتخاب کرده بود، این بود که می‌خواست پسرش :

... « ستاره‌ای در آسمان مهندسی باشد ...»...​

با این وجود کانتور در سال 1862 در پی کسب اجازه از پدرش برای ادامه تحصیل در ریاضیات در دانشگاه بود و هنگامی که سرانجام موافقت او را کسب کرد، بی نهایت خوشحال بود. تحصیلات کانتور در زوریخ با مرگ پدرش در ژوئن 1863 خیلی زود قطع شد. سپس کانتور به دانشگاه برلین (University of Berlin) رفت و در آن جا با هرمان شوارتز (Hermann Schwarz) همکلاسی بود و با او دوست شد. کانتور در جلسات سخنرانی وایراشتراس (Weierstrass) ، کومر (Kummer) و کرونیکر (Kronecker) حضور داشت. ترم تابستانی 1866 را در دانشگاه گوتینگن (University of Gottingen) سپری کرد و برای اتمام پایان نامه‌اش در نظریه اعداد به نام De aequationibus secundi gradus indeterminatis در سال 1867 به برلین بازگشت.
کانتور زمانی که در برلین بود با انجمن ریاضی رابطه‌ی زیادی داشت و طی سال‌های 1864-65 رئیس انجمن بود. همچنین عضوی از یک گروه کوچک ریاضی بود که هفته‌ای یک بار نشست داشتند. کانتور پس از اخذ مدرک دکتری در سال 1867، در یک مدرسه دخترانه در برلین به تدریس پرداخت. سپس در سال 1868 به سمینار شلباخ (Schellbach) که برای معلمان ریاضی بود، پیوست. در این مدت او روی پایان نامه تخصصی دکترای خود کار می‌کرد و بلافاصله پس از آن که در سال 1369 جذب هاله شد، این رساله‌ی خود را ارائه کرد که باز هم در نظریه اعداد بود و دکترای تخصصی خود را دریافت کرد.
موضوع تحقیقات کانتور در هاله از نظریه اعداد به آنالیز تغییر کرد. این تغییر به خاطر نقش هاینه (Heine ) ، یکی از همکاران ارشدش در هاله بود که کانتور را برای اثبات مسأله حل نشده‌ای درباره‌ی یکتایی نمایش یک تابع به صورت یک سری مثلتاتی ، به مبارزه طلبیده بود. این مسأله یک مسأله دشوار بود که بسیاری از دانشمندان از جمله خودِ هاینه و دیریکله (Dirichlet) ، لیپشیتز (Lipschitz) و ریمان (Riemann ) در مواجهه با آن ناکام مانده بودند. کانتور مسأله را حل کرد و یکتایی نمایش را تا آوریل 1870 ثابت کرد. در بین سال‌های 1870 تا 1872 مقالات بیشتری درباره‌ی سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که همه‌ی آن‌ها تأثیرات تدریس وایراشتراس را نشان می‌دهد.
کانتور در سال 1872 در هاله در حد یک پروفسور برجسته ریاضی ترفیع یافت و همان سال سرآغاز دوستی‌اش با ددکیند (Dedekind ) که او را در تعطیلاتی در سویتزرلند ملاقات کرده بود، شد. کانتور در سال 1872 مقاله‌ای درباره سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که در آن اعداد گنگ را نسبت به همگرایی دنباله‌هایی از اعداد گویا تعریف می‌کند. در همان سال ددکیند تعریفش از اعداد حقیقی را با " برش‌های ددکیند " منتشر کرد و در این مقاله‌اش به مقاله‌ی سال 1872 کانتور که کانتور برایش ارسال کرده بود، ارجاع می‌دهد.
کانتور در سال 1873 ، شمارش پذیر بودن اعداد گویا را ثابت کرد یعنی می‌توانند با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک باشند. همچنین نشان داد که اعداد جبری؛ اعدادی که ریشه‌های چندجمله‌ای‌هایی با ضرایب عدد صحیح اند، شمارا هستند. اما تلاش‌هایش برای به نتیجه رسیدن این که آیا اعداد حقیقی شمارا هستند، سخت تر بود. او سرانجام در دسامبر سال 1873 ثابت کرد که اعداد حقیقی ناشمارا هستند و این موضوع را در مقاله‌ای در سال 1874 چاپ کرد. در همین مقاله است که ایده‌ی تناظر یک به یک برای اولین بار به چشم می‌خورد، هر چند تنها به صورت ضمنی در این مقاله آمده است.
یک عدد متعالی ( غیرجبری ) عدد گنگی است که ریشه‌ی هیچ چندجمله‌ای با ضرایب صحیح نیست. لیوویل (Liouville) در سال 1851 اثبات کرد که اعداد متعالی وجود دارند. کانتور دوازده سال بعد، یعنی در سال 1874 در کارهایش، با اثبات اینکه اعداد حقیقی ناشمارا هستند، نشان داد که " تقریباً تمامی اعداد " در جهت معینی، متعالی هستند ؛ درحالی که او اثبات کرده بود که اعداد جبری شمارا هستند.
کانتور با نامه‌هایی که در طول این مدت با ددکیند ردوبدل می‌کرد، پیشرفت‌هایی به دست آورد. سوال بعدی که او در ژانویه 1874 از خود پرسید این بود که : آیا مربع واحد می‌تواند به توی پاره خط واحد (پاره خطی به طول یک) با یک تناظر یک به یک از نقاط، نگاشته شود؟ او در نامه‌ای در پنجم ژانویه 1874 به ددکیند چنین می‌نویسد :
آیا سطحی ( مانند یک مربع با مرزهایش) می‌تواند به طور یکتا به یک خط ( مثل یک پاره خط با نقاط پایانی‌اش) طوری اشاره داشته باشد که برای هر نقطه روی سطح، یک نقطه‌ی متناظر روی خط وجود داشته باشد و برعکس برای هر نقطه روی خط، یک نقطه‌ی متناظر روی سطح وجود داشته باشد؟ من فکر می‌کنم علی رغم این که پاسخ به وضوح " خیر " است و به نظر می‌رسد که اثبات آن تقریباً غیر ضروری است؛ پاسخ این سؤال کار ساده‌ای نباشد.
سال 1874 یکی از سال‌های مهم زندگی شخصی کانتور بود. او در بهار همان سال با یکی از دوستان خواهرش ، به نام والی گوتمن (Vally Guttmann ) نامزد کرد و در نهم آگوست 1874 باهم ازدواج کردند و ماه عسل را در اینترلیکنِ (Interlaken) در سویتزرلند (Switzerland) گذراندند، جایی که بیشتر مباحث ریاضی کانتور با ددکیند آن جا بود.
مکاتبات کانتور با ددکیند ادامه داشت. کانتور نظریاتش را با ددکیند در میان می‌گذاشت و نظریات او را جویا می‌شد. کانتور در نامه‌ای در سال 1877 به ددکیند نوشت که تناظر یک به یکی بین نقاط بازه‌ی و نقاط صفحه‌ی p-بعدی وجود دارد.کانتور از این کشف خودش شگفت زده بود و نوشت :

... می‌بینم ولی باور ندارم ...​

البته این قضیه کاربردهایی در هندسه و در نمایش بعد یک فضا دارد. در سال 1877 مقاله‌ی مهم کانتور درباره‌ی بُعدها در مجله‌ی کِرِل (Crelle) ارائه شد که کرونیکر با شک و تردید به آن پرداخت و فقط بعد از این که ددکیند به طرفداری از کانتور میانجی گری کرد، منتشر شد. کانتور از مخالفت کرونیکر با مقاله‌اش بسیار رنجید و دیگر هرگز مقاله‌ای به کِرِل ارائه نکرد.



​

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

لاگرانژ

ژوزف لویی لاگرانژ در 25 ژانویه سال 1736 در تورینو ایتالیا متولد شد او که از بزرگترین ریاضی دانان تمام ادوار تاریخ می باشد هنگام تولد بیش از حد ضعیف و ناتوان بود و از 11 فرزند خانواده فقط او زنده مانده بود. زندگی لاگرانژ را می توان به سه دوره تقسیم کرد: نخستین دوره شامل سالهایی می شود که در موطنش تورینو سپری شد(1736 – 1766) دوره دوم دوره ای بود که وی بین سالهای 1766 و 1787 در فرهنگستان برلین کار می کرد دوره سوم از 1787 تا 1813 که عمر وی به پایان رسید در پاریس گذشت. دوره اول و دوم از نظر فعالیتهای علمی پر ثمرترین دوره ها بودند که با کشف حساب تغییرات در 1754 آغاز گردید و با کاربرد آن در مکانیک در 1756 ادامه یافت در این نخستین دوره وی در باره مکانیک آسمانی نیز کار کرد دوره اقامت در برلین هم از نظر مکانیک و هم از لحاظ حساب دیفرانسیل وانتگرال سازنده بود با این حال در آن دوره لاگرانژ در درجه اول در زمینه حل عددی و جبری معادلات و حتی فراتر از آن در نظریه اعداد، چهره ای برجسته و ممتاز شده بود. سالهای اقامتش در پاریس را صرف نوشته های آموزشی و تهیه رساله های بزرگی نمود که استنباطهای ریاضی وی را خلاصه می کردند این رساله هادر هنگامی که عصر ریاضیات قرن 18 در شرف پایان بود مقدمات عصر ریاضیات قرن 19 را فراهم کردند و از برخی جهات آن دوره را گشودند. پدر لاگرانژ وی را نامزد آموختن حقوق نمود اما لاگرانژ به محض آنکه تحصیل فیزیک را زیر نظر بکاریا و تحصیل هندسه را زیر نظر فیلیپو آنتونیو رولی آغاز کرد به سرعت متوجه تواناییهای خود شد و بنابراین خویشتن را وقف علوم دقیق تر کرد.

در 1757 چند دانشمند جوان تورینویی که لاگرانژ وکنت سالوتسو و جووانی چنییای فیزیکدان در میان آنها بودند انجمنی علمی بنیاد نهادند که منشاء فرهنگستان سلطنتی علوم تورینو گردید یکی از اهداف اصلی آن انجمن انتشار جنگ بود به زبان فرانسوی و لاتینی به نام (جنگ تورینو) که لاگرانژ خدمتی بنیادی به آن کرد سه جلد اول آن تقریباٌ‌ حاوی تمامی آثاری بود که وی هنگام اقامت در تورینو به چاپ رسانده بود. فعالیت لاگرانژ در مکانیک آسمانی غالباٌ بر محور مسابقه هایی دور می زند که از طرف انجمنهای مختلف علمی پیشنهاد شده بودند اما به این گونه مسابقه ها منحصر نبود. در تورینو غالباٌ‌ کارش جهت گیری مستقل داشت و در 1782 به دالامبر و لاپلاس نوشت که در باره تغییرات قرنی نقطه های نهایی اوج و خروج از مرکز تمام سیارات کار می کند. این پژوهش لاگرانژ به اتنشار کتاب انجامید با عنوان نظریه تغییرات قرنی عناصر سیارات و مقاله ای با عنوان در باره تغییرات قرنی حرکات متوسط سیارات که در سال 1785 منتشر شد. لاگرانژ در برلین و در سال 1768 مقاله حل مسئله ای از حساب را برای جنگ تورینو فرستاد تا در جلد چهارم درج شود در آن نوشته لاگرانژ به نوشته قبلی خود اشاره داشت و از طریق کاربرد ظریف و استادانه الگوریتم کسرهای پیوسته ثابت کرد که معادله فرما (ریاضی دان معروف) را در صورتی می توان در تمام حالات حل کرد که اعداد درست مثبت باشند، این است نخستین راه حل شناخته شده این مسئله مشهور. آخرین بخش این نوشته در مقاله ای با عنوان روش جدید برای حل مسائل نامحدود دراعداد درست بسط یافت که در نشریه یاداشتهای برلین برای سال 1768 عرضه شد ولی تا فوریه آن سال کامل نگردید و در سال 1770 منتشر شد.

از بزرگترین شاهکارههای علمی لاگرانژ رساله مکانیک تحلیلی را می توان نام برد که در سال 1788 انتشار یافت او در آن اثر پیشنهاد کرد که بهتر است نظریه مکانیک و فنون حل کردن مسائل آن رشته به فرمولهایی کلی تحویل شوند، فرمولهایی که هر گاه پیدا شوند همه معادله های لازم برای حل هر مسئله را بوجود خواهند آورد. باری، لاگرانژ تصمیم گرفت که چاپ دومی از آن اثر منتشر کند که حاوی برخی پیشرفتها باشد او قبلاٌ در یادداشتهای انستیتو چند مقاله منتشر کرده بود که آخرین و درخشانترین خدمت وی را در راه پیشبرد مکانیک آسمانی نشان می دادند او قسمتی از آن نظریه را در جلد اول رساله تجدید نظر شده گنجانید. لاگرانژ مردی محجوب ومتواضع بود او بسیار ساده و راحت هنگامی که از یک مطلب علمی اطلاع نداشت می‌گفت نمی دانم.

لاگرانژ در سال 1813 در پاریس درگذشت او در زمان مرگش 77 سال داشت

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

لاپلاس


پیتر سیمون لاپلاس در 23 مارس 1749 در حوالی پون لوک فرانسه متولد شد پدرش دهقان فقیری بود و از کودکی خودش اطلاعی در دست نیست لاپلاس از جمله مؤثرترین دانشوران در طول تاریخ می باشد او به محض اینکه ریاضیدان مشهوری شد و افتخاراتی کسب نمود اصل و نسب خود را مخفی نگاه می داشت، مشهور است که لاپلاس برای ملاقات دالامبر ریاضیدان با ارزش در یکی از روزهای سال 1770 به خانه او می رود و با وجود توصیه هایی که ارائه می دهد کمک قابل توجهی از طرف زیاضی دان بزرگ نسبت به او نمی شود لاپلاس مایوس نمی شود و نامه ای برای دالامبر می فرستد و در آن افکار خویش را درباره اصل مکانیک شرح می دهد دالامبر به محض خواندن نامه نویسنده را احضار می کند و به او می گوید چنانچه ملاحظه میکنید من به توصیه و سفارش ترتیب اثر نمی دهم ولی شما برای شناساندن خود وسیله خوبی بدست آوردید دالامبر فوراٌ‌ لاپلاس را به سمت استاد مدرسه نظامی پاریس انتخاب می کند.

در مرحله اول لاپلاس نوشته هایی در باره مسائل حساب انتگرال، اختر شناسی، ریاضی کیهان شناسی نظریه بازیهای بخت آزمایی و علیت تالیف کرد در این دوره سازنده وی سبک و شهرت و موضع فلسفی و برخی شیوه های ریاضی خود را ساخته و پرداخته کرد و برنامه ای برای پژوهش در دو زمینه – احتمالات و مکانیک آسمانی – تنظیم نمود که بقیه عمر را به کار ریاضی در باره آنها پرداخت در مرحله دوم در هر دو زمینه به بسیاری از نتایج عمده ای رسید که به سبب آنها مشهور است و بعدها آنها را در رساله های بزرگ خو«مکانیک سماوی 1799 – 1825) و نظریه تحلیلی(1812) گنجانید اطلاع از بخش اعظم این مسائل به وسیله شیوه های ریاضی صورت گرفت که او در آن زمان یا قبل از آن، به وجود آورد ابداع کرده بود مهمترین آنها عبارتند از توابع مولد، که از آن پس به نام وی خوانده شدند. بسط، که آن نیز در نظریه دترمینانها به نام وی گردید، تغییر مقادیر ثابت به منظور رسیدن به راه حلهای تقریبی در انتگرال گیری عبارتهای اختر شناسی و ابع گرانشی تعمیم یافته که بعدها با دخالت پواسون به صورت تابع پتانسیل برق و مغناطیس قرن 19 در آمد همچنین در طی همین دوره بود که لاپلاس به سومین حوزه علایقش – یعنی فیزیک که با همکاری لاوازیه در زمینه نظریه گرما بود، وارد گردید و تا حدودی در نتیجه آن همکاری بود که وی تبدیل به یکی از اعضای مؤثر حلقه درونی مجمع ملی شد.

اولین مسئله مورد توجه لاپلاس دنبال نمودن کار اسحاق نیوتن بود زیرا اسحاق نیوتن قانون اصلی مکانیک آسمانی را یافته بود و لاپلاس می خواست این قانون را در مورد تمام اجسام منظومه شمسی به کار برد لاپلاس شروع به تعیین قوانین مکانیک سیارات کرد تا نشان دهد که این اجسام مانند سایر اجسام تابع قوانین فیزیکی هستند اولین موضوعی که لاپلاس نزد خود مطرح می کند موضوع ثبات دستگاه شمسی است که آیا به وضعی که داراست می ماند یا بالاخره ماه روی زمین سقوط می کند و سیارات بر جرم خورشید پرتاب شده و معدوم می گردند اسحاق نیوتن هم این سؤال را مطرح کرده بود و به این نتیجه رسیده بود که باید گاهگاهی دست خداوند در کار بیاید و حرکات آنها را به جریان عادی برگرداند ولی لاپلاس گفت اگر چه وضع سیارات نسبت به خورشید تغییر می کند ولی این تغییرات تناوبی است لاپلاس تمام این اکتشافات را تحت عنوان مکانیک آسمانی منتشر ساخت ولی چون فهم مطالبش برای همه کس مقدور نبود لذا تصمیم گرفت کتابی دیگر بنویسد که مردم عادی هم از آن بهره مند گردند این کتاب تحت عنوان شرح دستگاههای جهانی منتشر شد.

لاپلاس علاوه بر نجوم و ریاضیات استادی عالیقدر در علم فیزیک بود و در باره لوله های موئین و انتشار امواج صوتی مطالعات فراوانی داشت از مهمترین آثار لاپلاس تئوری تحلیلی احتمالات را که در سال 1812 نوشته است می توان نام برد لاپلاس را که دانشمندی بی همتا می توان گفت متاسفانه نسبت به تمام حکومتهایی که پی در پی عوض می شدند تملق می گفت و از آنها استفاده می کرد در مقابل ناپلئون تا زانو تعظیم می کرد و به همین علتها بود که از طرف امپراطور به مقامهای کنت – سناتور – ریاست مجلس سنا انتخاب شد با وجود اینها وقتی ناپلئون اسیر شد به او پشت کرد و به عزلش رای داد و خود را در دامان لویی هجدهم انداخت و از طرف او به سمت رئیس کمیته تجدید تشکیلات مدرسه پلی تکنیک و عضو مجلس عیان انتخاب شد. لاپلاس با تمام این اوصاف جوانان را تشویق و کمک می کرد به طوری که روزی یکی از اکتشافات جوان ناشناسی بنام بیو از طرف آکادمی مورد تمجید قرار گرفت او را نزد خود خواند و معلوم گردید لاپلاس قبلاٌ این اکتشاف را مورد مطالعه قرار داده سات.

لاپلاس اواخر عمر را در آرکوری نزدیک پاریس در عمارت ییلاقی خود که نزدیک دوستش برتوله بود گذارنید او روز 5 مارس 1812 در 78 سالگی در گذشت در حالیکه آخرین حرف او این بود: آنچه می دانیم بسیار ناچیز و آنچه نمی دانیم عظیم و وسیع است.

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

بلزپاسکال
«بلزپاسکال» ریاضیدان، و فیزیکدان، و فیلسوف بزرگ فرانسوی، در قرن 17زندگی می‌کرد. او ماشین حساب را ساخته است. و نیز نشانه‌های کلی بخش پذیری هر عدد صحیح به هر عدد صحیح دیگر را پیدا کرده است. و نیز یک مثلث عددی خاصی ترتیب داده است، که به نام خود او «مثلث پاسکال» نامیده می‌شود. و منظور ما در اینجا آشنایی با همین مثلث است. اما قبل ازاینکه مثلث پاسکال را توضیح دهیم، ناچاریم ابتدا دو عدد مخصوص را بشناسیم:

اولا ّعدد مثلثی چیست؟ این عدد حاصل جمع چند جمله‌ی متوالی یک تصاعد عددی است، که جمله‌ی اول آن 1وقدرنسبتش عددصحیح است. مثلاّ در تصاعد عددی7، 6، 5، 4، 3 ، 2، 1اعداد(1) و (2+1) و (3+2+1)و (4+3+2+1)...و یعنی عددهای 1و3و6و10و15و...را اعداد مثلثی می‌نامند، زیرا با هر یک از آنها می‌توان تشکیل مثلث متساوی‌الاضلاع داد. مثلاّ اگر6 گلوله‌ی را در ردیفهای 1و2و3تایی کنار هم روی میز قرار دهید، یک مثلث متساوی‌الاضلاع تشکیل می‌شود. حال اگر4گلوله‌ی شیشه‌ای دیگر را زیر آنها قرار داده، و ردیف جدید را تشکیل دهید، یک مثلث متساوی‌الاضلاع جدید شامل 10گلوله خواهید‌داشت.

ثانیاّ عدد هرمی چیست؟ گفتیم که با10گلوله‌ی شیشه‌ای می‌توان یک مثلث منتظم تشکیل داد. مثلث قشر دوم را که با6گلوله ساخته می‌شود، و روی آن قرار‌داد. و سرانجام یک گلوله‌ی شیشه‌ای را هم می‌توان روی آنها گذاشت، و با چهار ردیف مثلث، که از گلوله‌های شیشه‌ای تشکیل یافته‌اند، که یک عدد مثلثی بلافاصله بزرگتر زیر آنها بگذاریم، پس با معلوم بودن سری اعداد مثلثی 1و3و6و10و 15و 21و 28و36و 45و 55 و... ساختن اعداد هرمی آسان است: از1 شروع می‌کنیم، مرتباّ تا هر جا که بخواهیم، با عددهای مثلثی پشت سرخود جمع می‌کنیم، تا پشت سرهم عددهای هرمی حاصل شوند. مثلاّ از مجموع 1و3و6و10و15و21عدد56 به دست می‌آید، که یک عدد هرمی است.

عکس پیدا نشد

و برای پیدا‌کردن عدد هرمی بزرگتر از آن باید روی 56 عدد28را بیفزاییم تا84 به دست‌آید. و حالا مثلث پاسکال: مثلث‌پاسکال به این ترتیب درست شده است، که هرعدد (جز‌واحدهای کنار آن) از مجموع نزدیکترین دو‌عدد بالای آن درست شده است. مثلاّ120حاصل جمع عددهای 84 و36 است، که در ردیف افقی فوقانی آن، و در طرفین عدد مزبور قرار دارند. در این جدول شگفت‌انگیز نخستین ردیف اریب را واحدها تشکیل داده‌اند. در دومین ردیف اریب سری عددهای طبیعی قرار دارند. در سومین ردیف اریب اعداد مثلثی پشت سر هم واقع شده اند. و در چهارمین ردیف اریب عددهای هرمی1و4و10و20و35و56 و... به دنبال هم قرار گرفته‌اند.برای اطلاع از ویژگیهای ردیف اریب باید به فضای چهار بعدی برویم، که فعلاّ از آن صرفنظر می‌کنیم.

شما می‌توانید بین اعداد واقع در این مثلث ویژگیهای عجیب دیگری هم کشف کنید مثلاّ اعداد «فیبوناچی» هم در مثلث پاسکال ظاهر می‌شوند، که گویا خود پاسکال از آن بی‌اطلاع بوده است. در واقع این ویژگی مثلث پاسکال تا نیمه‌ی دوم قرن نوزدهم ناشناخته بود.
برای به دست آوردن اعداد فیبوناچی از مثلث‌پاسکال، کافی است به خطوط اریبی، که بالای این مثلث به موازات هم رسم کرده ایم، توجه کنید.

عکس پیدا نشد

خواهید‌دید که مجموع عددهای واقع در هر ردیف به ترتیب اعداد فیوناچی را می‌رساند. و شما می‌توانید رسم خطهای اریب را زیرهم ادامه دهید، و مجموع اعداد واقع در روی آنها را به دست آورید، تا سری اعداد فیبوناچی کامل شوند.
از خصوصیات جالب مثلث‌پاسکال این است که مجموع عددها در هر سطر افقی برابر است با توانی از2، مثلاّ اعداد واقع در پنجمین ردیف افقی را اگرجمع کنیم، 16می شود، که برابر24است. و مجموع اعداد ششمین ردیف افقی نیز 32 یا 25است.
و حالا نوبت شماست، که اعداد واقع در این مثلث را به دقت مورد بررسی قرار‌دهید، تا ویژگیهای جدیدی در آن کشف کنید.

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

ابوالحسن احمدبن ابراهیم اقلیدسی
(شکوفایی:341/952-953، دمشق)،
در هیچ کتاب مأخذی نام اقلیدسی نیامده است و فقط از تنها نسخه کتابش به نام کتاب الفصول فی الحساب الهندی (استانبول، ینی جمع، 802) شناخته می‌شود، که در سرلوحه آن نام مؤلف آمده و نوشته شده که کتاب در دمشق به سال 341/952-953 به رشته تحریر درآمده است. نسخه‌ خطی موجود رد 552/1157 رونویس شده است. مولف در مقدمه‌ کتاب می‌گوید که سفر بسیار کرده، و هر کتابی در حساب هندی را که به دست آورده خوانده، و از هر ریاضیدان سرشناسی که دیده چیزی آموخته است. صفت «اقلیدسی» به نام همه‌ کسانی افزوده می‌شد که از اصول اقلیدس برای تدریس رونویس تهیه می‌کردند؛ پس شاید که وی معاش خود را از این راه تأمین می‌کرده است. قرینه‌های داخلی نشان می‌دهد که وی در تعلیم حساب هندی تجربه‌ای داشته، زیرا که می‌دانسته است مبتدیان چه می‌پرسند و پاسخشان را چگونه باید داد.

کتاب چهار بخش دارد. رد بخش اول ارقام هندی معرفی شده است، ارزش مکانی توضیح گردیده و اعمال حسابی، از جمله گرفتن جذر، تشریح شده است؛ با مثالهای متعدد از عددهای صحیح و کسرهای متعارف، در دستگاههای دهدهی و شصتگانی.

در بخش دوم موضوع در سطح بالاتری توضیح شده و مشتمل است بر طرح 9 به 9 اعداد، و صورتهای متعدد اعمالی که طرح کلی آنها در بخش اول آمده است. مؤلف در مقدمه تصریح می‌کند که در این بخش روشهایی را که حسابگران عملی نامدار به آنها عمل می‌کرده‌اند گرد آورده و به طریق هندی بیان کرده است. این بخش محتوی تقریباً همه طرحهای عمل ضرب است که در کتابهای بعدی لاتینی ظاهر شده است.
در بخش سوم توجیه مفاهیم و مراحل متعددی که در دو بخش اول عرضه گردیده‌اند، معمولاً در جواب به پرسشهای «چرا؟» و «چگونه است که؟»، آمده است.

برای ارزشیابی بخش چهارم گفتن چند کلمه ای بد نیست. در چند سط اول متن کتاب آمده است که حساب هندی، به صورتی که به اعراب رسیده، مستلزم استفاده از چرتکه خاکی (تخت و تراب) است. کمی بعد گفته شده است که اعمال منوط به جا به جا کردن ارقام و پاک کردن آنها است.

مثلاً در ضرب 456 در 329 اعداد بدین صورت نوشته می‌شوند:
329
456
آنگاه 3 در 4 ضرب شده و حاصل به صورت 12 در یک سطر بالاتر از آنها ثبت می شود بعد 3 در 5 ضرب می‌شود و لازمه‌ این کار این است که رقم 5 در سطر بالا نوشته شود و نیز 2 پاک شود و 3 به جای آن نوشته شود، 3 در 6 ضرب می‌شود ایجاب می‌کند که پس از نوشتن 8، رقم 5 که طرف چپ آن است محو گردد و 6 به جای آن گذاشته شود. برای آماده شدن برای گام بعدی سطر پایین به اندازه یک رقم به راست برده می‌شود. آرایش عددها حالا بدین صورت است:
136829
456
456 را باید در 2، که بالای رقم یکان 456 است، ضرب کرد. وضع رقم یکان مضروب در سطر پایین، مضروب فیمه را ـ یعنی عددی را که باید در بس شمرده ضرب شود ـ‌معین می‌کند. مراحلی را که باقی مانده است حالا می‌توان به آسانی پیمود.

آشکار است که کاغذ و مرکب را نمی توان در چنین طرحی به آسانی به کار برد. در بخش چهارم کتاب تغییراتی در طرحهای هندی پیشنهاد شده است که با آنها می‌توان تخت و تراب را کنار گذاشت و کاغذ و مرکب را به جای آن به کار گرفت. اکنون می‌توانیم حکم کنیم که طرحهای اقلیدسی نمایش گام اول ازیک رشته تلاشهایی است که نتیجه آنها نخست در بخش عربی جهان اسلام و چند قرن بعد در بخش شرقی آن، کنار گذاشتن تخت و تراب بود.
پس از آن که اقلیدسی فکر تغییری در هر عمل را پیش آورد پیشنهاد کرد که:

حروف یونانی می‌توانند جانشین ارقام هندی شوند؛

ارقام هندی با نقطه‌هایی که بالای آنها گذاشته شود ممکن است الفبای عربی تازه‌ای تشکیل دهند؛

می‌توان تاسهایی در نظر گرفت که در هر طرف آنها یک یا دو رقم نقش شده باشد و بتوان آنها را به جای چرتکه به کار برد؛

تخته‌ محاسبه‌ای می‌ـوان ترتیب داد که کوران از آن استفاده کنند.
اندیشه‌ دوم در کتابهای دیگر آمده است و اندیشه سوم اَپِکهای بوئتیوس را به یاد می‌آورد. شاید در اینجا اقلیدسی روشهایی را که دیگران آورده‌اند تشریح می‌کند، نه آنکه چیزی ابتکاری عرضه نماید. کتاب با بحثی مستوفا درباره و روش استخراج کعب به پایان می‌رسد.

اقلیدسی از این توفیقات درکتابهایش به خود می بالد:

در بخش نخست همه‌ محتوای متونی را که درباره حساب هندی نوشته شده بوده عرضه کرده و آن را در دستگاه شصتگانی به کار برده است. ما این کتابها را در دست نداریم تا بتوانیم درباره‌ درستی ادعای او اظهار نظر کنیم. Algorismus cor pus لاتینی نشان می‌دهد که حساب هندی به صورتی که خوارزمی (قرن سوم/نهم) آن را عرضه کرده بود با آنچه بعداً در جهان اسلام انتشار یافت فرق اساسی دارد. کاربرد طرحهای هندی در دستگاه شصتگانی رد همه‌ کتابهای حساب که بعدها به عربی نوشته شده دیده می‌شود.

در بخش دوم روشهای را آورده است که فقط حسابدانان سرشناس به آنها واقف بوده‌اند، و روش طرح 9 به 9 را به کسر و جذر نیز سرایت داده است. به قرینه‌ کتابهای بعدی می‌توان به قبول این ادعای اقلیدسی متمایل بود.

در بخش چهارم نشان داده است که حساب هندی دیگر احتیاجی به تخت و تراب ندارد. این تغییر بیشتر مطبوع طبع مغر بزمین بود تا مشرق زمین. در تأیید این گفته می‌توانیم خاطر نشان کنیم که این بنای مراکشی (وفات 721/1321) در یکی از کتابهای حسابش به عنوان چیزی حیرت‌انگیز به این نکته اشراه کرده بود که قدیمیان برای محاسبه از خاک استفاده می‌کرده‌اند، در حالی که خواجه نصیرالدین طوسی (وفات 672/1274) هنوز تخت و تراب را آنقدر مهم می‌دانسته است که درباره‌اش کتابی بنویسد.

در بحث درباره میان جمله‌ nام و مجموع n جمله فوق گذاشته است و مدعی است که حسابگران دیگر آن دو را با هم خلط کرده‌اند.

مدعی است که اولین کسی است که درباره ریشه‌ سوم (کعب) اعداد مطالبی رضایت‌بخش نوشته است. سندی برای ابراز نظر قطعی در مورد دو ادعای اخیر در دست نیست، اما دلایل دیگری داریم برای آن که کتاب الفصول فی الحساب الهندی القیدسی را از بین در حدود صد کتاب عربی موجود از همه بهتر بدانیم.

نخست این که اولین کتاب شناخته شده ای است که مستقیماً به کسرهای اعشاری پرداخته است. مؤلف علامت اعشاری خاصی پیشنهاد می‌کند و در استفاده‌ دایمی از آن اصرار می‌ورزد؛ و آن خطی است که بالای رقم یکان می‌گذارد. در جریان تقسیم متوالی 26 بر 2 این دنباله را بدست می‌آورد: 13، 5/6، 25/3، 625/1، 8125/5. می‌داند که چگونه با ضرب متوالی در 2 و با صرف‌نظر کردن از صفرهای طرف راست بار دیگر عدد 13 را به دست آورد. در فرآیندی که مکرر 135 را به اندازه‌ یک دهم آن زیاد می‌کند این آرایش را به دست می‌آورد:

35/163
335 /16 , 5/148
85/14 , 135
5/13
685/179 35/163 5/148

و بدین قیاس. و نیز برای یافتن ریشه‌های تقریبی اعداد این قاعده‌ها را به کار می‌برد:

و k را مساوی مضربی از 10 اختیار می‌کند.
با این که حسابدانان دیگری هم همین قاعده‌ها را به کار برده‌اند اما همه‌ آنان پس از به دست آوردن کسر اعشاری آن را، ماشین‌وار، به دستگاه شصتگانی می‌بردند بی‌آنکه نشانه ای از این مفهوم اعشاری را درک می‌کنند ظاهر سازند. فقط اقلیدسی است که در موارد متعدد ریشه را در مقیاس دهدهی تعیین می‌کند. در همه‌ اعمالی که توانهای 10 در صورت یا در مخرج دخلیند در کمال راحتی عمل می‌کند.

دوم آن که کتاب اقلیدسی اولین کتابی است که به روشنی معین آن است که حساب هندی وابستگی به تخت و تراب داشته است. مؤلف در مقدمه‌ کتاب دستگاه حساب هندی را با حساب انگشتی، که در آن زمان متداول بوده، می‌سنجد و ارزیابی درستی از خوبیها و نارساییهای هر یک به عمل می‌آورد. حالا معلوم شده است که بوزجانی (328-388/940-977 یا 8) و ابن بنا (وفات 721/1321) طرداً للباب درباره‌ تخت و تراب در حساب هندی مطلبی گفته‌اند، اما این اشاره‌ها مختصرتر از آن بوده است که توجه دانشمندانی را که آنها را مطالعه می‌کرده‌اند به خود جلب کند.

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

ارشمیدس

ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت.

در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیکدان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ناگهان فکری به مغزش خطور کرد او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می زد یافتم یافتم، او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او ماموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار در بار را کشف و او را رسوا کند شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز ))نقره[ که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است هر چند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند ولی او تا آن لحظه این طور فکر می کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کندآنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند اما در این روش تاج شاهی از بین می رفت پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جا به جا کرده است.

او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقار آب یکسانی را جا به جا می کنند ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است«طلا تقریباٌ‌ دو برابر نقره وزن دارد) بنابراین باید مقدار کمتری آب را جا به جا کند این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جا به جا می کند به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد آن هم اینکه می توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جا به جا می کنند اندازه گیری کرد این قانون«وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می گویند اصل ارشمیدس می نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.
به هر حال ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است او کتابهایی در باره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه می دانست علاوه بر آن او قوانینی در باره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.
ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد» عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیری و منزوی بود در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت یکی کونون(این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود.

ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون درگذشت ارشمیدس با دوسته که از شارگردان کونون مکاتبه می کرد.

یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات به دست آوردن عدد بود وی برای محاسبه عدد پی، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی به دست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می شود که وی قبل از ریاضی دانان هندی با کسر های متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است.
در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع ))تعادل اجسام غوطه ور به کار برد.

همچنین برای اولین بار برخی از اصول ««مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.

در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیج مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند حمله ور گردد دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که می توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.
زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می گذشت همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تامین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود درآوردند سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند ومتفکر مشهور و بزرگ را ندارند با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد او به وسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می گویند آخرین کلمات او این بود: دایره های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دوران ها خاتمه پذیرفت این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.

 

پاسخ : دانشمندان ریاضی (به طور خلاصه و مفید)

خواجه نصیرالدین طوسی



محمد بن حسن جهرودی طوسی مشهور به خواجه نصیرالدین طوسی در تاریخ 15 جمادی الاول 598 هجری قمری در طوس ولادت یافته است. او به تحصیل دانش علاقه زیادی داشت و از دوران کودکی جوانی در علوم ریاضی و نجوم و حکمت سرآمد شدو از دانشمندان معروف زمان خود گردید طوسی یکی از سرشناس ترین و با نفوذترین چهره های تاریخ فکری اسلامی است علوم دینی و علوم عملی را زیر نظر پدرش و منطق و حکمت طبیعی را نزد خالویش بابا افضل ایوبی کاشانی آموخت تحصیلاتش را در نیشابور به اتمام رسانید و در آنجا به عنوان دانشمندی برجسته شهرت یافت خواجه نصیرالدین طوسی را دسته ای از دانشوران خاتم فلاسفه ای و گروهی او را عقل حادی عشر(یازدهم) نام نهاده اند. علامه حلی که یکی از شاگردان خواجه نصیرالدین طوسی می باشد در باره استادش چنین می نویسد: خواجه نصیرالدین طوسی افضل عصر ما بود واز علوم عقیله و نقلیه مصنفات بسیار داشت او اشراف کسانی است که ما آنها را درک کرده ایم. خدا نورانی کند ضریح او را. در خدمت او الهیات، شفای ابن سینا و تذکره ای در هیات را که از تالیفات خود آن بزرگوار است قرائت کردم. پس او را اجل مختوم دریافت و خدای روح او را مقدس کناد نصیرالدین زمانی پیش از سال 611 در مقال پیشروی مغولان به یکی از قلعه های ناصرالدین محتشم فرمانروای اسماعیلی پناه برد این کار به وی امکان داد که برخی از آثار مهم اخلاقی، منطقی، فلسفی و ریاضی خود از جمله مشهورترین کتابش اخلاق ناصری را به رشته تحریر درآورد وقتی که هولاکو به فرمانروایی اسماعیلیان در سال 635 پایان داد طوسی را در خدمت خود نگاه داشت و به او اجازه داد که رصدخانه بزرگی در مراغه ایجاد کند که شروع آن از سال 638 بود برای کمک به رصدخانه][ علاوه بر کمکهای مالی دولت اوقاف سراسر کشور نیز در اختیار خواجه گذاره شده بود که از عشر«یک دهم» آن جهت امر ««رصدخانه و خرید وسایل و اسباب و آلات و کتب استفاده می نمود در نزدیکی رصدخانه کتابخانه بزرگی ساخته شده بود که حدود 400000 جلد کتب نفیس جهت استفاده دانشمندان و فضلا قرارداده بود که از بغداد و شام و بیروت و الجزیره بدست آورده بودند در جوار رصدخانه یک سرای عالی برای خواجه و جماعت منجمین ساخته بودند و مدرسه علمیه ای جهت استفاده طلاب دانشجویان. این کارها مدت 13 سال به طول انجامید تا اینکه ایلخان هولاکوی مغول در سال 663 درگذشت. لیکن خواجه تا آخرین دقایق عمر خود اجازه نداد که خللی در کار آنجا رخ دهد و کوشش بسیار نمود که آن رصدخانه و کتابخانه از بین نرود.

قسمت اعظم 150 رساله و نامه های طوسی به زبان عربی نوشته شده است. وسعت معلومات و نفوذ او با ابن سینا قابل قیاس است جز آن که ابن سینا پزشک بهتری بود و طوسی ریاضیدان برتری، از 5 کتابی که در زمینه منطق نوشته شده است اساس الاقتباس از همه مهمتر است در ریاضیات تحریرهایی بر آثار آوتولوکوس، آرستارخوس، اقلیدس، آپولونیوس، ارشمیدس، هوپسیکلس، تئودوسیوس منلائوس و بطلمیوس نوشت از جمله مهمترین آثار اصیل اصیل وی در حساب هندسه و مثلثات جوامع الحساب بالتخت و التراب، رساله الشافیه و اثر معروفش کتاب شکل القطاع است که به نوشته های رگیومونتانوس اثر گذارده است معروفترین آثار نجومی وی زیج ایلخانی که در سال 650 نوشته شده می باشد و همچنین تذکره فی علم الهیئه است کتاب تنسوق نامه و کتابهایی در زمینه اختر بینی نیز نوشته است احتمالاٌ برجسته ترین کار طوسی در ریاضیات در زمینه مثلثات بوده است در کشف القناع عن اسرار شکل القطاع، وی نخستین کسی بود که مثلثات را بدون توسل به قضیه منلائوس یا نجوم توسعه بخشید و هم او بود که برای نخستین بار قضیه جیوب را که رویداد برجسته ای در تاریخ ریاضیات است به روشنی بیان کرد. در نجوم تذکره فی علم الهیئه وی شاید کامل ترین نقد بر نجوم بطلمیوسی در قرون وسطی و معرف تنها الگوی ریاضی جدید حرکت سیارات است که در نجوم قرون وسطی نوشته شده است این کتاب به احتمال زیاد از راه نوشته های منجمان بیزانسی به کوپرنیک اثر گذاشته است و همراه با کار شاگردان طوسی متضمن تمام تازه های نجوم کوپرنیکی است به استثنای فرضیه خورشید مرکزی آن. خواجه نصیرالدین با اینکه سروکارش بیشتر در سیاست و اجتماع بوده روشن ترین راه را که برای رسیدن به جهان جاودانی نشان می دهد دیانت است. اگر چه در تمام نوشته های خود دم از استقلال و معرفت می زند اما آشکارا می گوید دانش تنها از ایمان و دین حاصل می شود و حقیقت دانش را دین می داند که تسلی بخش جانها و روان بخش کالبدهای افسرده است. طوسی بیشتر به عنوان منجم معروف است و رصدخانه وی یک مؤسسه علمی در تاریخ علم به شمار می رود کتاب تنسوق نامه او از لحاظ موضوع فقط در مقایسه با مشابهش یعنی کتاب بیرونی(کتاب الجماهر فی معرفت الجوهر) در درجه دوم اهمیت قرار دارد طوسی یکی از پیشروترین فلسفه اسلامی است که تعلیمات مشایی ابن سینا را پس از آن که در طول دو سده در محاق کلام قرار گرفته بودند احیاء کرد او مظهر نخستین مرحله ترکیب تدریجی مکتب های مشایی و اشراقی استاخلاق ناصری وی رایجترین کتاب اخلاقی بین مسلمانان هند و ایران بوده است.

تجرید العقاید او در کلام مبنای الهیات اصولی شیعه دوازده امامی است. طوسی احتمالاٌ‌ بیش از هر فرد دیگر مایه احیای علوم اسلامی بوده است گروهی خواجه را برهم زننده وحدت دو ملت عربی و اسلامی می پندارند ومی گویند به دست او وحدت عربی در آن زمان پاشیده شد. در حقیقت خواجه در این باب گناهی نداشت و اگر لیاقت خواجه پس از آن همه خونریزی به داد مسلمانان نرسیده بود جهان اسلامی امروز چه وضعیتی داشت؟ در سال 672 هجری قمری خواجه نصیرالدین طوسی با جمعی از شاگردان خود به بغداد رفت که بقایای کتابهای تاراج رفته را جمع آوری و به مراغه بازگرداند اما اجل مهلتش نداد و در تاریخ 18 ذی الحجه سال 672 هجری قمری در کاظمین نزدیک بغداد دار فانی را وداع گفت خواجه نصیرالدین طوسی ستاره درخشانی بود که در افق تاریک مقول درخشید و در هر شهری که پا گذارد آنجا را به نور حکمت و دانش و اخلاق روشن ساخت و در آن دوره تاریک وجود چنین دانشمندی مایه اعجاب واعجاز بود.