در این قسمت روشی سریع برای به دست آوردن حاصلضرب اعداد در 11 ارائه می کنیم. این روش می تواند در ماشین حساب ها نیز مورد استفاده قرار گیرد. برای سادگی از اعداد دو رقمی شروع می کنیم. برای محاسبه ی حاصلضرب یک عدد دو رقمی در 11 ، کافی است دو رقم ِ عدد را با هم جمع کنید و در میان ِ عدد دو رقمی قرار دهید : مثلا ً اگر بخواهیم عدد 45 را در 11 ضرب کنیم ، ارقام 45 را با هم جمع می کنیم که برابر با 9 می شود و 9 را در میان 45 قرار می دهیم : 495. در حالتی که مجموع ِ دو رقم از 9 بیشتر شود، رقم یکان را در میان دو رقم گذاشته و رقم دهگان آن را با رقم صد گان جمع می کنیم : مثلا ً حاصل را به صورت زیر گام به گام محاسبه می کنیم : این الگوریتم را به اعداد ِ بیشتر از دو رقمی نیز می توانیم گسترش دهیم . به این ترتیب که از سمت راست ِ عدد شروع کرده و دو رقم دو رقم الگوریتم را تکرار می کنیم . حاصل را این گونه گام به گام محاسبه می کنیم : اگر مجموع ِ دو رقم ، بیشتر از 9 شد ، رقم دهگان آن را به رقم سمت چپ می افزاییم ، که در محاسبه ی گام به گام نشان داده می شود : [FONT="]این مثال ها با تفصیل باین شد ، تا شما چگونگی محاسبات را یاد بگیرید.[/FONT] [FONT="][FONT="]با کمی تمرین سرعت این روش را خواهید دید و با یادگیری آن می توانید دوستان و نزدیکان خود را شگفت زده کنید ![/FONT][/FONT]
پاسخ : شگفتی هایی در حساب تقریبا ً همه ی دانش آموزان و دانشجویان می دانند که چه اعدادی بر 3 و 9 بخش پذیرند ؟ آیا نوشتن چنین مطلبی اتلاف وقت نیست؟ درست است که همه می دانند اعدادی بر 3 ( یا 9 ) بخش پذیرند که مجموع ِ ارقامشان بر 3 (یا 9) بخش پذیر باشد. مثلا ً عدد 64098 بر 3 و 9 بخش پذیر است ، زیرا : که 27 هم بر 3 و هم بر 9 بخش پذیر است . اما عدد 64095 تنها بر 3 بخش پذیر است و عدد 64094 نه بر 3 و نه بر 9 بخش پذیر است . اما آیا شما می دانید این فرمول از کجا آمده است ؟ این جاست که فایده ی این مطلب مشخص می شود ، زیرا بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان نمی دانند چرا این فرمول برقرار است . اکنون فرمول بخش پذیری اعداد بر 3 و 9 را اثبات می کنیم . فرض کنیم N = abcde عددی باشد که می خواهیم ببینیم بر 3و 9 بخش پذیر است یا خیر ؟ این عدد را به صورت زیر نیز می توانیم نشان دهیم : در انجام تغییرات زیر بر عبارت بالا ، مجازیم : که آخرین رابطه نشان می دهد که بخش پذیری N بر 3 یا 9 ، به بخش پذیری ِ بر 3 یا 9 بستگی دارد ؛ چرا که هم بر 3 و هم بر 9 بخش پذیر است. عدد چیزی نیست جز مجموع ِ ارقام ِ N . بنابراین ... « عدد طبیعی N بر 3 یا 9 بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ِ ارقام آن بر 3 یا 9 بخشپذیر باشد »...
پاسخ : شگفتی هایی در حساب تاکنون بخش پذیری بر اعداد 3 ، 9 و 11 را آموختیم . اکثر دانش آموزان و دانشجویان ، قوانین بخش پذیری بر اعداد 2 و 5 و 4 و6 و 10 و ... مضارب ِ آنها را می دانند . در این قسمت این قوانین را یاد آوری کرده و آنها را گسترش می دهیم . اعدادی بر 2 بخش پذیرند که رقم یکان آنها زوج باشد . اعدادی بر 4 بخش پذیرند که دو رقم سمت راست آنها بر 4 بخش پذیر باشد . ( منظور از دو رقم سمت راست ، عددی است که رقم ِ یکان آن همان رقم یکان ِ عدد اصلی و رقم دهگان آن همان رقم ِ دهگان عدد اصلی باشد . ) اعدادی بر 5 بخش پذیرند که رقم یکان آنها 0 یا 5 باشد . اعدادی بر 6 بخش پذیرند که هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشند . اعدادی بر 8 بخش پذیرند که 3 رقم سمت راست آنها بر 8 بخش پذیر باشد .( توضیح ِ اعداد بخش پذیر بر 4 را ببینید. ) یک قانون ِ کلی برای بخش پذیری بر : اعدادی بر بخش پذیرند که n رقم راست آنها بر بخش پذیر باشد . قانون کلی بخش پذیری بر عدد : عددی بر بخش پذیر است که n رقم راست آن بر بخش پذیر باشد . با استفاده از این قانون ها ، می توانیم مشخص کنیم که چه اعدادی بر یک عدد مرکب بخش پذیرند . مثلا ً با استفاده از قانون ِ اعداد 3 و 4 ، می توانیم نتیجه بگیریم که عددی بر 12 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیر باشد یعنی هم مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد و هم دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد . آیا برای بخش پذیری بر اعداد اول نیز می توانیم قوانینی بیابیم ؟ این موضوعی است که در جلسه ی آینده به آن پرداخته می شود .
پاسخ : شگفتی هایی در حساب چه اعدادی بر 7 بخش پذیرند ؟ چه اعدادی بر 13 بخش پذیرند ؟ چه اعدادی بر 17 بخش پذیرند ؟ امروزه با استفاده از ماشین حساب ها ، دانستن قوانین بخش پذیری بر اعداد ، کمتر احساس نیاز می شود . اما یاد گیری این قوانین می تواند افق جدیدی را درباره ی ویژگی های اعداد طبیعی پیش روی ما باز کند . با احتمال زیاد ، شما قوانین بخش پذیری بر اعداد اول را نمی دانید . در ادامه ما تعدادی از از این قوانین را بین می کنیم که روشی دیگر برای یافتن قوانین را به شما آموزش می دهد . قانون بخش پذیری بر 7 : ... « رقم یکان را حذف کنید و دو برابر آن را از عدد ِ جدید کم کنید. اگر عدد باقی مانده بر 7 بخشپذیر باشد، آنگاه عدد اصلی نیز بر 7 بخش پذیر است. در صورتی که عدد انتخابی بزرگ باشد، این روند را برای عدد باقی مانده ، آنقدر تکرار کنید تا تشخیص بخش پذیری ِ آن بر 7 برای شما ممکن باشد. » ... به مثال زیر توجه کنید : مثال 1.2 : آیا عدد 256742 بر 7 بخش پذیر است ؟ حل : این عدد را در نظر بگیرید. رقم یکان آن 2 است. آن را حذف می کنیم. عدد جدید ِ 25674 به دست می آید. اکنون دو برابر رقمی را که حذف کرده ایم ؛ یعنی ؛ را از عدد جدید کم می کنیم : اگر این عدد بر 7 بخش پذیر باشد آنگاه عدد 256742 نیز بر 7 بخش پذیر است اما هنوز نمی توانیم تشخیص دهیم آیا 25670 بر 7 بخش پذیر است یا خیر ؟ بنابراین قانون را برای 25670 تکرار می کنیم : اگر 2567 بر 7 بخش پذیر باشد، عدد 25670 بر 7 بخش پذیر خواهد بود و در نتیجه عدد 256742 نیز بر 7 بخش پذیر خواهد بود. آیا می توانید تشخیص دهید 2567 بر 7 بخش پذیر است یا خیر ؟ اگر نمی دانید قانون را تکرار کنید : چون عدد 20 بر 7 بخشپذیر نیست ، عدد اصلی و اعداد 25670 و 2567 و 242 نیز بر 7 بخش پذیر نیستند. ( امتحان کنید !!!! ) مثال 2.2 : آیا عدد 876547 بر 7 بخش پذیر است ؟ حل : قانون بخش پذیری بر 7 را برای این عدد اعمال می کنیم : در این مرحله واضح است که 70 بر 7 بخش پذیر است. بنابراین اعداد ِ 868 و 8764 و 87640 و 876547 همگی بر 7 بخش پذیرند. ( امتحان کنید !!! ) برای آنکه شما بیشتر با این قانون آشنا شوید، بهتر است با جند عدد اننتخابی این قانون را بیشتر تجربه کنید و نتیجه را با آنچه ماشین حساب می گوید، مقایسه کنید. این قانون را بیاموزید چرا که قوانین بخش پذیری بر دیگر اعداد اول نیز روندی مشابه به این قانون دارند. آیا می دانید این فرمول از کجا آمده است ؟ در جدول زیر تمامی اعدادی را مشاهده می کنید که می توانند در رقم یکان جای بگیرند. در هر یک از حالت ها ، مشخص شده است هنگامی که رقم یکان حذف می شود و دو برابر آن از عدد جدید کسر می شود، چه اتفاقی می افتد. در این صورت گویی از عدد اصلی مضربی از 7 کسر می شود. با ادامه ی این روند ، اگر ععد باقی مانده بر 7 بخش پذیر باشد، عدد اصلی نیز بر 7 بخش پذیر است. در واقا با این روند، عدد اصلی به دو قسمت تبدیل می شود که هر کدام از آنها بر 7 بخش پذیرند. رقم پایانی ( رقم یکان ) عدد کم شده از عدد اصلی 1 2 3 4 5 6 7 8 9
پاسخ : شگفتی هایی در حساب قانون بخش پذیری بر 13 : ... « این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 است ؛ با این تفاوت که 13 جایگزین 7 می شود و به جای ِ کم کردن ِ 2 برابر رقم حذف شده ، 9 برابر رقم حذف شده را در هر مرحله کم می کنیم. »... این قانون را برای بخش پذیری 6516 بر 13 به کار می بریم : با عدد 6516 شروع می کنیم و رقم یکان آن ، 6 ، را حذف می کنیم و 9 برابر آن یعنی 54 را از عدد باقی مانده کم می کنیم : 507 = 54 -651 . از آن جا که نمی توانیم تشخیص دهیم 507 بر 13 بخش پذیر است یا خیر ، روند را ادامه می دهیم . رقم یکان ِ 507 ، یعنی 7 را حذف می کنیم و 9 برابر 7 را از عدد باقی مانده کم می کنیم : از آن جا که بر 13 بخش پذیر است ، عدد اصلی یعنی 6516 بر 13 بخش پذیر است ؛همچنین عدد 507 نیز بر 13 بخش پذیر خواهد بود . اکنون نشان می دهیم مضرب ِ 9 از کجا می آید . برای این منظور ، کوچکترین مضرب ِ 9 که رقم یکان ( رقم پایانی ) آن 1 است را جستجو می کنیم . این عدد 91 است که رقم دهگان ِ آن ، 9 برابر ِ رقم یکان آن است. در جدول زیر ، رقم های پایانی ِ ممکن ِ مختلف و تفاضل متناظرشان را ملاحظه می کنید : رقم پایانی ( یکان ) عدد کم شده از عدد اصلی 1 2 3 4 5 6 7 8 9 در هر مورد ، مضربی از 13 یک بار یا بیشتر از عدد اصلی کم شده است . بنابر این اگر عددی که باقی می ماند بر 13 بخش پذیر باشد ، آنگاه عدد اصلی نیز بر 13 بخش پذیر است . قانون بخش پذیری بر 17 : ... « رقم یکان را حذف کنید و 5 برابر ِ رقم حذف شده را از عدد باقی مانده کم کنید ؛ تا زمانی که به عدد کوچکی که بتوانید تشخیص دهید آیا بر 17 بخش پذیر است یا خیر ، این عمل را تکرار کنید . »... همان گونه که مشاهده می کنید ، این قانون شبیه بخش پذیری بر 7 و 13 است و نتایج مشابهی برای آن برقرار است . امیدواریم این قوانین ، راهنمایی برای شما در جهت به دست آوردن قوانین بخش پذیری بر دیگر اعداد اول باشد . جهت سامان دادن به بحث خود جدول زیر را در اختیار شما قرار می دهیم . در این جدول مشاهده می کنید که برای بخش پذیری بر هر عدد اول ، چه مضربی از رقم ِ حذف شده را از عدد باقی مانده باید کسر کنید : در آزمون بخش پذیری بر عدد ِ اول ِ ... چند برابرعدد حذف شده را کم کنیم ؟ 7 2 11 1 13 9 17 5 19 17 23 16 29 26 31 3 37 11 41 4 43 30 47 14 بسیار جالب خواهد بود اگر شما بخواهید این جدول را کامل تر کنید . این کار احساس و درک شما را در ریاضیات افزایش می دهد . با آموختن قوانین بخش پذیری بر اعداد اول ، می توانیم قانون بخش پذیری بر اعداد مرکب ( عددی که اول نباشد ) را دقیق تر بیان کنیم : قانون بخش پذیری بر اعداد مرکب : ...« عددی بر یک عدد ِ مرکب بخش پذیر است که بر تمام ِ مقسوم علیه های نسبت به هم اولش بخش پذیر باشد. »... جدول زیر به شما در درک قانون بالا کمک می کند : برای بخش پذیری بر... عدد باید بر اعداد ... و ... بخش پذیر باشد 6 2 و 3 10 2 و 5 12 3 و 4 15 3 و 5 18 2 و 9 21 3 و 7 24 3 و 8 26 2 و 13 28 4 و 7 یاد آوری می کنیم که دو عدد نسبت به هم اول نامیده می شوند هر گاه بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها عدد ِ یک باشد .
پاسخ : شگفتی هایی در حساب در این قسمت می خواهیم یکی از روش های قدیمی ضرب کردن را به شما معرفی کنیم. این روشی است که روستاییان روسی از آن استفاده می کردند و در میان آنان رایج بوده است. سادگی و اعجاب انگیزی از ویژگی های این الگوی ضربی است. فرض کنید مسأله یافتن ِ حاصل ضرب ِ باشد. اجازه دهید این ضرب را این گونه با هم انجام دهیم : ابتدا جدولی دو ستونی می سازیم و 43 را در یک ستون و 92 را در ستون دیگر جای می دهیم . یکی از ستون ها را ستون یک دوم ها و ستون دیگر را ستون دو برابر ها می نامیم. ( مثلا ً ستونی که 92 در آن قرار دارد را ستون یک دوم ها و ستونی که 43 در آن قرار دارد را ستون دو برابر ها می نامیم .) در هر مرحله ؛ عددی که در ستون یک دوم ها قرار دارد، نصف می شود و عددی که در ستون دوبرابر ها قرار دارد ، دوبرابر می شود. در ستون یک دوم ها به این نکته توجه داریم که هرگاه عدد فردی را نصف کنیم، باقی مانده 1 می باشد که از آن صرف نظر می کنیم ( تنها جزء صحیح نصف عدد را در نظر می گیریم به عبارت دیگر خارج قسمت عدد را در تقسیم بر 2 انتخاب می کنیم و از باقی مانده صرف نظر می کنیم. ) این روند را تا زمانی ادامه می دهیم که عدد ستون ِ یک دوم ها برابر با 1 شود. به این ترتیب در هر ستون، زیر اعداد اصلی لیستی از اعداد نوشته می شود. دو عدد هر سطر را شریک هم می نامیم . مثلا ً دو عدد 5 و 688 شریک یکدیگرند. اکنون اعداد فرد ستون یک دوم ها را می یابیم. این اعداد در جدول زیر با رنگ قرمز مشخص شده اند : اما ما با اعداد فرد کاری نداریم بلکه با شریک های آن ها سر و کار داریم. ( این اعداد نیز با رنگ آبی مشخص شده اند.) اگر شریک های اعداد فرد ِ ستون ِ یک دوم ها را با هم جمع کنیم، حاصلضرب مطلوب به دست می آید : دقت داشته باشید که در ابتدا مهم نیست که کدام ستون را ستون یک دوم ها و کدام یک را یتون دو برابر ها انتخاب می کردیم . چون جدول زیر نشان می دهد که حاصل یکسان است : اعمال زیر مشخص می کند که در الگوریتم بالا چه اتفاقی می افتد : برای آن ها که سیستم دودویی آشنا هستند، روش روستایی های روسی را می توان به صورت زیر نمایش داد : امیدواریم این مطلب مورد رضایت شما عزیزان قرار گرفته باشد.
پاسخ : شگفتی هایی در حساب گاهی اوقات اگر دقت کنید که چه انجام می دهید، الگوریتم های ضربی میانبر های ضربی زیبایی را به شما معرفی می کنند. از شما می خواهیم که ضرب های مختلفی را با اعداد 21 و 31 و 41 و 51 و ... انجام دهید. بااین کار شما به زودی به سمت ِ میانبر های زیبای ضربی روان خواهید شد. چگونگی ضرب کردن با 21 : عدد اصلی را دو برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید. به عنوان مثال ، برای ضرب 37 در 21 این گونه عمل می کنیم : چگونگی ضرب کردن با 31 : عدد اصلی را سه برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید. نمونه وار ، برای ضرب 43 در 31 این گونه عمل می کنیم : چگونگی ضرب کردن با 41 : عدد اصلی را چهار برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید. به عنوان مثال ، برای ضرب 47 در 41 این گونه عمل می کنیم : به ین ترتیب تردیدی نیستکه می توانید این الگو ها را گسترش دهید .
پاسخ : شگفتی هایی در حساب یکی از محبوب ترین داستان های موجود در تاریخچه ی ریاضیات و ریاضی دانان، زندگی نامه ریاضی دان نامی « کارل فردریک گاوس Carl Friedrich Gauss - 1777-1855 » است . وی در سن 10 سالگی مجموع اعداد 1 تا 100 را به طور ذهنی، در شرایطی که به کارهای دیگر مشغول بود، به دست می آورد. روشی که او برای محاسبه ی مجموع اعداد 1 تا 100 ارائه کرده، برای آموزش به دانش آموزان، بسیار مناسب است. حتما ً کسانی که کمی با دنباله های اعداد سروکار داشته اند این روش را می شناسند اما شاید ندانند که این روش به روش گاوس مشهور است. روند کار این گونه است که : اولین عدد ( یعنی 1 ) را با آخرین عدد ( یعنی 100 ) جمع می کنیم، حاصل 101 می شود. دومین عدد ( یعنی 2 ) را با عدد قبل از آخر یعنی 99 جمع می کنیم، حاصل 101 می شود. به همین ترتیب ادامه می دهی تا به اعداد 50 و 51 می رسیم : اکنون مجموع این 50 جفت عدد برابر است با : جالب است بدانید اگر شما هر دنباله ترتیبی از اعداد صحیح داشته باشید، با همین روش می توانید مجموع آن ها را بیابید. این ها کارهایی است که گاوس در سن 10 سالگی ! انجام می داد. فرمول عمومی برای محاسبه ی مجموع ِ n عدد صحیح متوالی که a نخستین آن ها و b آخرین آن هاست، به صورت زیر است :
پاسخ : شگفتی هایی در حساب گاهی اوقات دانش آموزان ناخواسته ایده هایی را برای دریافت ویژگی های ریاضیات به ما معرفی می کنند. اغلب دیده ایم که آنها کارهایی را که از نظر ریاضیات تماما ً اشتباه است ، انجام می دهند و در کمال شگفتی به جواب های صحیح می رسند. این شگفتی باعث می شود دانش آموزان کار اشتباهشان را تصدیق و تکرار کنند چرا که نتیجه ی درستی دربر داشته است. یکی از رایج ترین ِ این اشتباهات در ساده کردن کسرها مشاهده می شود که در این مطلب به آن می پردازیم. به کسرهای زیر دقت کنید : اگر شما کسر های را ساده کنید با کمال شگفتی می بینید که همان کسر های بالا به دست می آیند. واقعا ً شگفت آور است! شگفت آورتر آن است که بدانید این 4 کسر و این اعداد دورقمی، تنها اعداد دورقمی هستند که این ویژگی را دارند. البته تمام کسرهای دو رقمی که با مضارب 11 ساخته می شوند، مانند نیز این ویژگی را دارند که به آن ها کسرهای بدیهی می گوییم. اما منظور ما کسرهای غیر بدیهی ( کسرهایی که حاصل آن ها مخالف 1 است) را مورد بررسی قرار می دهیم. اکنون نشان می دهیم که چگونه میتوان این اعداد را به دست آورد و چرا این اعداد تنها اعداد با این ویژگی هستند. به یاد داریم که اگر a ، x و y سه رقم ( عدد یک رقمی ) باشند، اعداد دورقمی ِ xa و ay این گونه نمایش داده می شوند : نمونه وار اگر a=2 و x=3 و y=4 باشد آنگاه اکنون کسر را تشکیل می دهیم. به این ترتیب با الگوی پیشنهادی بالا بایستی پس از ساده کردن ِ a از صورت و مخرج ، به کسر برسیم یعنی بنابراین باید داشته باشیم x و a و y ارقام صحیح هستند زیرا از ابتدا آن ها را رقم انتخاب کرده بودیم. اکنون وظیفه داریم x و a را به گونه ای انتخاب کنیم که y نیز یک رقم صحیح شود. برای دوری از محاسبات جبری بسیار، می توانیم جدولی به صور زیر بسازیم و در آن به ازای مقادیر مختلف a و x ، مقدار y را از فرمول به دست آورده و در خانه های متناظر جدول قرار دهیم. به دست آوردن دیگر اعداد جدول به عهده ی شماست تا مطمئن شوید 4 عدد مشخص شده تنها اعداد مناسب برای y هستند. از جدول بالا مشاهده می شود که اگر x و a به ترتیب 1 و 6 باشد آنگاه y برابر با 4 خواهد بود که در شرایط دلخواه صدق کند و اگر x و a به ترتیب 2 و 6 انتخاب شوند، y برابر با 4 خواهد شد که کسر های و را تشکیل می دهند. همچنین اگر x و a به ترتیب 1 و 9 باشد آنگاه y برابر با 5 و اگر4 و 9 انتخاب شوند، y برابر با 4 خواهد شد که کسر های و به دست می آیند. به این ترتیب این جدول ما را متقاعد می کند که تنها 4 کسر ذکر شده دارای این ویژگی هستند. شاید بیش از این ها شگفت زده شوید اگر بدانید که این روش عجیب و غریب خط زدن ارقام ( ساده کردن ) برای بعضی کسر های با صورت و مخرج بیش از دو رقم نیز برقرار است. نمونه وار در کسر می توانید این گونه ساده کردن را امتحان کنید که به نتیجه ی زیر خواهید رسید: خیلی زود دانش آموزان و دانشجویان مشتاق خواهند گفت که این کسر ها یا به بیان دیگر این اشتباه خنده آور را می توان به صورت زیر گسترش داد : در پایان برای آن دسته از علاقه مندانی که آرزو دارند با کسرهای بیشتری که دارای این ویژگی شگفت هستند آشنا شوند، کسرهای زیر را معرفی می کنیم. این عزیزان بایستی درستی ِ این کسرها را تحقیق و تصدیق کنند و برای کشف کسرهای بیشتری از این قبیل تلاش کنند.
پاسخ : شگفتی هایی در حساب شاید شما نیز شیفته ی دانستن این نکته باشید که اعداد هندی-عربی که همه امروزه از آن ها استفاده می کنیم ، در اروپای غربی ، برای اولین بار در سال 1202 در کتاب « لیبر آباچی » توسط « لئوناردو پیزا » ( که به فیبوناچی معروف است ) آمده است. « فیبوناچی » بازرگانی بود که بسیار به خاورمیانه سفر کرده است و در اولین بخش کتابش بیان می کند که : ...« نُه عدد ِ 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 و 9 در بین هندی ها وجود دارد. هر عددی را با این نُه عدد و با نماد 0 ( صفر ) ، که در عربی صفر ( زفیرم ) نامیده می شود، می توان نوشت. همان گونه که در زیر شرح داده شده است ... »... با این کتاب ، در حالی استفاده از این اعداد برای اولین بار در اروپا تبلیغ شد که تا قبل از آن از اعداد رومی استفاده می شد. بی تردید استفاده از اعداد رومی خیلی پر زحمت بوده است. کافی است لحظه ای بیاندیشید که اگر تنها اعداد رومی در اختیارمان باشد ، چگونه و با چه زحمتی می توان محاسبات را انجام داد! « فیبوناچی » که شیفته ی حسابی شده بود که در دنیای اسلام استفاده می شد؛ ابتدا روش « 9 تایی خارج کردن » را به عنوان « کنترل کننده ی محاسبات » در این کتاب معرفی می کند. روشی که حتی امروزه نیز مفید واقع می شود و جادوی پنهان دیگری را در حساب اعداد معمولی آشکار می کند. « 9 تایی خارج کردن » به معنی برداشتن دسته های نُه تایی از مجموع ارقام عدد است ، به عبارتی دیگر کم کردن ِ تعداد مشخصی نُه ( مضربی از نُه ) از مجموع ارقام است. قبل از آن که به بحث ِ این روند کنترل حساب وارد شویم ، توضیح می دهیم که چگونه باقی مانده ی تقسیم اعداد بر 9، با خارج کردن دسته های 9 تایی از مجموع ِ ارقام اعداد، مقایسه می شود. اگر باقی مانده ی تقسیم عدد 8768 بر 9 را به دست آورید خواهید دید که باقی مانده برابر با 2 و خارج قسمت آن 974 است. این باقی مانده را می توان با روش « 9تایی خارج کردن » از مجموع ارقام عدد 8768 نیز به دست آورد : مجموع ارقام عدد 8768 برابر با 29 است که اگر مجدداً نیز از قانون « 9تایی خارج کردن » استفاده کنیم : 2+9 = 11 و دوباره 1+1 = 2 ، به همان باقی مانده ای که قبلاً به دست آورده بودیم ، می رسیم . درواقع مجموع ارقام را مرتبا ً به دست می آوریم تا آن جا که به عدد تک رقمی برسیم ؛ این عدد تک رقمی برابر با باقی مانده تقسیم عدد داده شده بر 9 است . یعنی « باقی مانده ی تقسیم اعداد بر 9 با مجموع ارقام آن عدد برابر است » . تذکر : به خاطر بیاورید که در بخش پذیری اعداد بر 9 بیان کردیم : « عددی بر نه بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر نه بخش پذیر باشد ». این بخشپذیری حالت خاصی از قانون فوق است که در آن باقی مانده برابر با صفر می باشد. اکنون به توضیح روش کنترل حساب اعداد با استفاده از این قانون می پردازیم : حاصلضرب 734×879 = 645186 را در نظر بگیرید. شما به راحتی با استفاده از ماشین حساب می توانید درستی این ضرب را تحقیق کنید! اما با استفاده از روش « 9 تایی خارج کردن » می توان کنترل کرد که آیا این حاصلضرب می تواند درست باشد یا خیر؟ برای این کار هریک از عامل ضرب ها را در نظر بگیرید و باقی مانده تقسیم آن ها را بر 9 ، با استفاده از قانون « 9 تایی خارج کردن » به دست آورید : برای 734 : 7+3+4 = 14 و 1+4 = 5 برای 879 : 8+7+9=24 و 2+4 = 6 اکنون برای کنترل ِ امکان ِ درست بودن ِ جواب ، این دو عدد به دست آمده را در هم ضرب کنید و باقی مانده ی تقسیم آن بر 9 را به دست آورید : 5×6 = 30 و 3+0=3 سپس به حاصلضرب اصلی بازگردید و باقی مانده ی تقسیم عدد 654186 بر 9 را به دست آورید : 6+5+4+1+8+6 = 30 و 3+0 = 3 از آن جا که این دو عدد به دست آمده با هم برابر هستند، پس ضرب انجام شده ی اصلی می تواند درست باشد. برای تمرین و درک بیشتر این روش ، روش را برای چک کردن امکان صحت حاصلضرب زیر مرور می کنیم : 56589×983678 = 55665354342 باقی مانده تقسیم 56589 بر 9: 5+6+5+8+9 = 33 و 6 = 3+3 باقی مانده تقسیم 983678 بر 9: 41 = 9+8+3+6+7+8 و 5 = 4+1 حال این دو مقدار را در هم ضرب می کنیم و باقی مانده آن را بر 9 محاسبه می کنیم : 30 = 5 × 6 و 3 = 3+0 اکنون باقی مانده تقسیم حاصل ِ صضرب اصلی بر 9 را به دست می آوریم : 48 = 5 +5+6+6+5+3+5+4+3+4+2 و 12 = 4+8 و 3 = 1+2 چون دو عدد با هم برابر شد ، پس ضرب انجام شده اصلی می تواند درست باشد. پس به طور ساده ، روند چک کردن ِ امکان ِ درست بودن عمل ضرب دو عدد ، در 4 گام زیر انجام می شود : گام اول : باقی مانده ی تقسیم هریک از عامل ضرب ها را بر 9 به دست آورید. گام دوم : اعداد گام اول را در هم ضرب کنید و عدد به دست آمده را بر 9 تقسیم کرده و باقی مانده را به دست آورید. گام سوم : باقی مانده ی تقسیم ِ عدد حاصل ضرب اصلی بر 9 را به دست آورید. گام چهارم : اعداد به دست آمده در گام های دوم و سوم را با هم مقایسه کنید. در صورتی که حاصلضرب اصلی درست انجام شده باشد، این دو عدد با هم برابر می شوند. نکته 1 : توجه دارید که این قانون ، یک شرط لازم است اما کافی نیست. یعنی دلیلی وجود ندارد که اگر دو عدد گام های دوم و سوم با هم برابر بودند، حاصلضرب انجام شده حتماً درست باشد. نکته 2 : این روش چک کردن صحت جواب را برای همه ی اعمال حسابی ساده ( جمع ، ضرب ، تقسیم و تفریق ) می توان انجام داد با این تفاوت که گام های دوم و سوم را با توجه به عمل داده شده انجام می دهیم. نکته 3 : از این قانون جهت کنترل صحت عمل برای بیش از دو عدد نیز می توان استفاده کرد
