پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی اعداد و دنباله فیبوناچی چه طور اعدادی هستند و از کجا آمده اند؟ موضوعاتی که مانند ِ « اعداد فیبوناچی » در ریاضیا نفوذ کرده باشند، زیاد نیستند. اعداد فیبوناچی از یکی از کتاب های مهم ِ غربی به ما رسیده اند. نام این کتاب « Liber abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در میان عوام مردم به « فیبوناچی – Fibonacci , 1180-1250 » یا « پسر بوناچی » مشهور است. کتاب فیبوناچی ، اولین کتاب انتشار یافته در اروپا است که از اعداد عربی – هندی استفاده کرده است. اعداد هندی -عربی اعداد 0 تا 10 هستند که مبنای سیستم دهدهی هستند. این کتاب همچنین موارد و مسائلی در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فیبوناچی از همین مسائل آمده اند. به یکی از مسائل این کتاب توجه کنید : ... « در پایان یک سال چند جفت خرگوش خواهیم داشت اگر : در ابتدای سال یک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشیم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، یک جفت نوزاد تولید کند که نوزادان از ماه دوم توانایی تولید نوزاد دارند. ؟ » ... « دنباله فیبوناچی » از همین مسأله تولد خرگوش به دست می آید. برای حل این مسأله ، جفت خرگوش های بالغ را A می نامیم . این جفت ها در پایان هر ماه یک جفت نوزاد، که آن ها را B می نامیم، تولید می کنند. نوزادان بعد از یک ماه بالغ می شوند و یک جفت خرگوش A می شوند که پس از آن توانایی تولید مثل دارند. به این ترتیب به الگوی زیر دست می یابیم : تعداد جفت های بالغ در ابتدای هر ماه از « دنباله ی فیبوناچی » پیروی می کند : 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 اگر فرض کنیم ، n مین جمله از« دنباله فیبوناچی » باشد آنگاه این دنباله به صورت زیر تعریف می شود : به زبان ساده دنباله اعداد فیبوناچی این گونه است : دو جمله ی اول این دنباله برابر با 1 است و از جمله ی سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ی قبل از خودش برابر است. شاید بپرسید دنباله ی فیبوناچی جه ویژگی هایی دارد که این قدر مهم جلوه می کند ؟ یکی از ویژگی های دنباله فیبوناچی ، رابطه ی آن با « نسبت طلایی » است. برای پی بردن به این مطلب ، نسبت ِ یک جمله از دنباله فیبوناچی را به جمله ی قبل از آن تشکیل می دهیم. این کسر ها به « نسبت طلایی » میل می کنند : نسبت طلایی را در فصل چهارم از شگفتی ها و زیبایی های ریاضی بررسی خواهیم کرد، اما خوب است بدانید نسبت طلایی را با نمایش می دهیم و رابطه ی زیر نیز بین دنباله ی اعداد فیبوناچی و توان های نسبت طلایی برقرار است : اگر به ضرایب ِ نسبت طلایی در سمت راست تساوی ها دقت کنیم متوجه می شویم که این ضرایب هملن اعداد ِ دنباله فیبوناچی هستند و ثابت ها ی جمعی نیز اعداد فیبوناچی هستند که یک جمله دیرتر آمده اند !!! باور نکردنی است که دو چیز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، این گونه رابطه ی تنگاتنگی با هم داشته باشند. در این موارد است که ریاضیات شگفت انگیز می شود !!!.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی آیا می دانید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد ِ طبیعی متوالی بنویسیم ؟ اگر نمی دانید این مطلب را پی گیرید تا ببینید چه اعدادی را می توانیم به صورت مجموع اعداد طبیعی متوالی بنویسیم. از عدد 2 تا 40 شروع می کنیم و سعی خواهیم کرد برای هر کدام ، لیستی از اعداد ِ متوالی بیابیم که مجموع آن ها با عدد انتخاب شده برابر باشد. نکته 1 : نمایش اعداد به صورت مجموع ِ اعدادِ متوالی ، یکتا نیست ؛ مثلا" 30 را به صورت های زیر می توان نمایش داد: 9+8+7+6=11+10+9=30 نکته 2 : یک بازرسی در اعداد بالا نشان می دهد : اعدادی را که به صورت توانی از 2 هستند، نمی توانیم به صورت مجموع اعداد متوالی بنویسیم . ( در پایان این قسمت ، این مطلب را اثبات می کنیم. ) نکته ی 2 حقیقت ِ جالبی است که توقع نمی رفت چنین باشد. همچنین با ساختن یک چنین لیستی از اعداد به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی ، الگوهایی را مشاهده خواهیم کرد. یکی از این الگوهای واضح در مورد اعداد مثلثی است. n - مین عدد مثلثی ، مجموع n عدد ِ طبیعی نخست متوالی است. مثلا ً یا این که n - مین مضرب از عدد 3 را که 3n می نامیم، همواره می توانیم به صورت مجموع ِِ n -مین عدد طبیعی و اعداد قبل و بعدش نمایش دهیم. یعنی با کمی دقت شما نیز می توانید چنین الگو هایی را کشف کنید؛ زیرا که دیدن الگوهای اعداد و روابط بین آن ها یکی از جالب ترین بخش هاست. اکنون ثابت می کنیم یک عدد را کِی می توانیم به صورت مجموع ِحداقلِ ِ دو عدد طبیعی و متوالی بنویسیم: اگر a و b دو عدد طبیعی باشند که b از a بزرگتر است ، مجموع عددهای طبیعی متوالی بین a و b چه مقادیری می توانند باشند؟ با استفاده از فرمولِِِِ مجموع ِ یک سری عددی می توان این مقدار را به دست آورد ؛ که این مقدار برابر است با نصف حاصلضرب مجموع کران بالا و کران پایین در تعداد جملات. بنابر این اگر مجموع اعداد طبیعی متوالی بین a و b را S بنامیم ، از فرمول زیر به دست می آید : که در این حالت ، a جمله ی پایینی و b جمله ی بالایی و تعداد جملات بین a و b است. ( ممکن است این سوء تفاهم پیش آید که با استفاده از قوانین جمع ، می توانیم پرانتزهای بین اعداد در فرمول بالا را حذف کنیم. با حذف این پرانتزها اعداد -1 و +1 و ... با هم ساده می شوند و تنها تعدادی a و تعدادی b باقی می ماند. برای جلوگیری از این گونه موارد بیان می کنیم که منظور از ، عدد طبیعی ِ بعد از a است و منظور از نیز عدد طبیعی قبل از b است و ... . ممکن است در مکانی مثلا ً و با هم برابر شوند ( m و n عدد طبیعی هستند )، که در این حالت نیز تنها یکی از آن ها را وارد می کنیم. پس در حالت کلی منظور از مجموع بالا ، مجموع اعداد طبیعی بین a و b با احتساب خود a و b است و این اعداد بدون تکرار در نظر گرفته می شوند. ) . پس دو طرف تساوی را دو برابر می کنیم : را x می نامیم و را y . چون a و b اعداد طبیعی هستند و ، x و y نیز اعداد طبیعی اند. از آنجا که عددی فرد است ، بنابراین یکی از x و y فرد است و دیگری زوج . ( دقت داریم که فقط مجموع ِ یک عدد فرد و یک عدد زوج ، عددی فرد است. ) اکنون تساوی 2S = xy و وضعیت های x و y ، دو حالت زیر را پیش روی ما قرار می دهد : حالت اول : S توانی از 2 است : فرض می کنیم . بنا بر این یا . تنها حالتی ، که یک توان از 2 را می توانیم به صورت حاصلضرب یک عدد فرد در یک عدد زوج بنویسیم ، حالتی است که عدد فرد ، عدد 1 باشد. اگر x=1 باشد ، یعنی : ، در این صورت a , b نمی توانند اعداد طبیعی باشند ، زیرا مجموع هیچ دو عدد طبیعی ، برابر با 1 نیست. و اگر y برابر با 1 باشد ، یعنی : ، پس باید یا به عبارتی a و b با هم برابر باشند که این نیز اتفاق نمی افتد. بنابراین در این حالت نمی توانیم S را به صورت مجموع ِ اعداد ِ متوالی بنویسیم. حالت دوم : S توانی از 2 نیست : فرض می کنیم که m عدد فردی بزرگتر از 1 است. در این صورت . در این حالت می توانیم اعداد طبیعی a و b را طوری بیابیم که باشد و . دقت داریم که دو عدد و m برابر نیستند زیرا m فرد است و زوج . بنابراین یکی از آنها بزرگتر از دیگری است. فرض کنیم x آن عدد ِ بزرگتر و y آن عدد ِ کوچکتر باشد. با این انتخاب جواب ِ a و b مشخص می شود زیرا از رابطه ی مقدار b مشخص می شود و از رابطه ی مقدار a مشخص می شود . همچنین و بنابر این . بنابراین ، آن عدد طبیعی را می توانیم با مجموع ِ اعداد ِ طبیعی متوالی نمایش دهیم که توانی از 2 نباشد. با این مطلب به پایان فصل اول در شگفتی ها و زیبایی های ریاضیات می رسیم.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی اینکه می گوییم عددی گنگ است یعنی چه ؟ آیا به این معنی است که قادر به صحبت نیست ؟ !!! مسلما ً این گونه نیست. در ریاضیات به اعدادی که گویا نباشند، اعداد گنگ ( اصم ) می گویند. اعداد گویا چه نوع اعدادی هستند؟ آیا این اعداد نیز اعداد « سخن گو » هستند؟ خیر ؛ به عددی که بتوان آن را با یک کسر معمولی بیان کنیم ، یک « عدد گویا » می گوییم. عددی گنگ است زیرا هیچ کسری به صورت وجود ندارد که برابر با باشد. اگر را محاسبه کنیم خواهیم داشت : ( در پایان این قسمت اثبات خواهیم کرد که عددی گنگ است. ) دقت کنید که در ارقام ِ هیچ الگویی وجود ندارد و هیچ گروهی از ارقامش تکرار نمی شوند. بنابراین این سوال پیش می آید که آیا همه ی اعداد گویا ، در نمایش اعشاری ، یک گروه از ارقامشان دوره ای هستند و تکرار می شوند؟ برای مشخص شدن مطلب ، اجازه دهید چند کسر را ارزیابی کنیم : که این عدد را می توان به صورت نوشت. که دارای یک گروه شش رقمی تکراری است یا به عبارتی دوره ی گردش ِ ، شش رقمی است و آن ارقامی که بالای آن ها خط کشیده ایم از ابتدای خط تا انتهای آن به ترتیب تکرار می شوند. اما مقدار کسر ِ را ببینید : چنانچه ملاحظه نمودید ما این کسر را تا بیش از 100 رقم اعشار محاسبه نمودیم اما هیچ دوره ی گردشی مشاهده نمی کنیم. آیا می توانیم نتیجه بگیریم که عددی گنگ است ؟ اگر چنین باشد که تعریف قبلی ما برای اعداد گنگ باطل می شود !!!... آیا اگر مقدار را کمی بیشتر محاسبه کنیم، اتفاق خاصی نخواهد افتاد؟ ببینیم اگر 10 رقم اعشار جلوتر رویم چه می شود : به نظر می رسد یک الگوی تکراری شروع شود و آغاز آن 0091 باشد. محاسبات را بیشتر می کنیم( بیش از 200 رقم ) ، آیا حدس ما درست خواهد بود ؟ ببینید : اگر محاسبات را تا 332 رقن اعشار ادامه دهیم ، الگو واضح خواهد شد : پس می توانیم این محاسبات را متوقف کنیم و نتیجه بگیریم ( البته بدون اثبات) که « نمایش یک کسر معمولی به صورت عدد اعشاری ، همواره یک دوره ارقام چرخشی دارد. » البته بعضی از این کسر ها در این نمایش، دوره ی چرخش کوتاهی دارند : مثلا ً دوره ی چرخش یک رقمی یا یک دوره ی چرخشی 6 رقمی دارد و بعضی ها مانند که دوره ی 108 رقمی دارد، دوره ی طولانی تری دارند. این ، گواهی بر آن است که یک کسر دارای نمایش ِ اعشاری متناوب است ولی اعداد گنگ چنین نیستند. اکنون ثابت می کنیم که را نمی توان به صورت یک کسر نوشت که آن نتیجه خواهد داد عددی گنگ است. ... « فرض کنیم کسری با کوچکترین جملات است که در آن a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند. فرض کنیم . دو طرف تساوی را به توان 2 می رسانیم : بنابراین . یعنی عددی زوج است . چون توان دوم هر عدد فرد، عددی فرد است پس چون زوج است ، a نمی تواند عددی فرد باشد ؛ پس a زوج است و می توان فرض کرد a = 2k . بنابراین که نشان می دهد . پس زوج است و b نیز زوج خواهد شد. پس در کل از اینکه باشد ، به این نتیجه رسیدیم که a و b بایستی اعداد زوجی باشند که در این صورت a و b دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک ( یعنی 2 ) هستند که این نتیجه با فرض اولیه ی ما ( a و b هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند ) در تناقض است. بنابراین فرض اینکه را بتوان به صورت یک کسر نوشت باطل است یعنی عددی گنگ است . » ... . شاید این اثبات برای شما اصرار آمیز و گیج کننده باشد اما با کمی دقت و پیگیری ِ گام به گام ِ آن ، به زیبایی این اثبات پی خواهید برد.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این بخش یک ویژگی ِ افسونگر را نشان خواهیم داد که رابطه ای بین اعداد ِ معینی است. قبل از اینکه وارد بحث شویم، تعریف یادآوری می کنیم : عدد 145 را در نظر بگیرید . فاکتوریل ِ تک تک ارقام ِ آن را محاسبه می کنیم و با هم جمع می زنیم ؛ فکر می کنید چه اتفاقی خواهد افتاد؟ ببینید : بله به همان عدد 145 رسیدیم. شگفت آور است!!!!.... آیا مایلید با عدد 40585 نیز امتحان کنیم ؟ شاید فکر کنید این روند برای همه ی اعداد درست است. اما این گونه نیست و خاطر نشان می کنیم که تنها تعداد معینی از اعداد هستند که با مجموع فاکتوریل ارقامشان برابرند.اگر شک دارید می توانیید با دیگر اعداد امتحان کنید. بیایید این قاعده را برای عدد 871 به کار ببریم : مشاهده می کنید که مجموع فاکتوریل ارقام ِ عدد 871 با خودش برابر نیست. شاید شما قصد داشته باشید در همین مرحله متوقف شوید اما ما قصد داریم عدد انتخابی بعدی ما ، همین مجموع یعنی 45361 باشد و مجموع فاکتوریل ارقام آن را حساب می کنیم : شگفت انگیز است که به عدد 871 رسیدیم. پس اگر دوباره تکرار کنیم در یک چرخه ی دو عضوی خواهیم بود. آیا با هر عددی که شروع کنیم می توانیم یک حلقه تشکیل دهیم؟ اگر با عدد 872 شروع کنیم خواهیم داشت : پس مجددا ً در یک حلقه ی 2 عضوی قرار داریم. با عدد 169 روند زیر را خواهیم داشت : در این حالت در یک چرخه ی 3 عددی گیر افتاده ایم. جدول زیر اعداد و چرخه های آن ها را نشان می دهد. خاطر نشان می کنیم که این 11 عدد، تنها اعدادی هستند که تا عدد 2000000 در این ویژگی صدق می کنند. اگر باور ندارید می توانید با چندین به جز اعداد جدول زیر، امتحان کنید : چرخه اعداد یک عددی دو عددی سه عددی
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی ایا می توانید تصور کنید که یک عدد با مجموع مکعب های ارقامش برابر باشد ؟ چند لحظه ای تأمل کنید تا دقیقا ً بیان کنیم ماجرا چیست . این یک پدیده ی غیر طبیعی است زیرا تنها برای 5 عدد برقرار است. این 5 عدد عبارتند از : اگر به جز 5 عدد بالا عدد دیگری انتخاب کنید و مجموع مکعب های آن را به دست آورید، به عددی غیر از عدد انتخابی خود خواهید رسید. پس از آن اگر همین روند را برای عدد مجموع ِ به دست آمده، تکرار کنید؛ سرانجام به یکی از 5 عدد بالا خواهید رسید و یا در یک حلقه ی بی نهایت گرفتار خواهید شد. به عدد انتخابی ما که عدد 169 است دقت کنید : که 370یکی از 5 عدد بالاست. اما اگر عدد 424 را انتخاب کنیم روند زیر را خواهیم داشت : که در حلقه ی دو عددی 136 و 244 گیر می افتیم. اما اگر عدد 352 را انتخاب کنیم : در این حالت در یک حلقه ی 3 عددی گرفتار می شویم : شاید فکر کنید آسانتر بود اگر به جای مکعب های ارقام، از مربع ( توان دوم ) های ارقام استفاده می کردیم. در این مورد هم متوجه شگفتب خواهید شد. اجازه دهید یک بار با عدد 123 امتحان کنیم : عدد 89 که در مرحله ی پانزدهم به دست آمد، قبلا ً در مرحله ی هفتم نیز به دست آمده بود. این نشان می دهد که پس از این در یک دور قرار گرفته ایم. بنابراین اگر این روند را بیشتر ادامه دهیم، در یک حلقه ی تکراری خواهیم بود. شاید علاقه مند باشید که توان های ارقام ِ دیگر اعداد را نیز آزمایش کنید و این نتیجه ی جالب را مشاهده کنید. با این آزمایشات می توانید به الگوی جالبی برسید که می تواند پایه ای برای تحقیقات بیشتر شما باشد.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی [FONT="]در این قسمت یکی از پدیده هایی را که خارج از ویژگی های سیستم دهدهی اعداد رخ می دهد ، شرح می دهیم.[/FONT] [FONT="][FONT="]با اینکه محاسبات بسیاری نیاز نداریم ، نتیجه ی بدست آمده بسیار شگفت آور است. ما اصلا ً قصد نداریم یک موضوع کلی را اثبات کنیم ، اما خاطر نشان می کنیم که هنوز هیچ عددی که این فرایند را برهم زند، یافت نشده است. شاید این خود برای اینکه فکر کنیم این فرآیند برای تمام موارد درست است کافی باشد.[/FONT][/FONT] [FONT="]اگر دوست داشته باشید می توانید از ماشین حساب استفاده کنید و گرنه در تفریق استاد می شوید. [/FONT] [FONT="][FONT="]آنچه ما از شما می خواهیم این است :[/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="]1 .[/FONT][FONT="] یک عدد 4 رقمی را که تمام ارقام آن یکسان نیستند، انتخاب کنید .[/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="]2 .[/FONT][FONT="] ابتدا ارقام این عدد را به گونه ای جابجا کنید که بزرگترین عدد ممکن با همین ارقام به دست آید. آن را به خاطر بسپارید و دوباره این ارقام را به گونه ای که کوچکترین عدد ممکن با همین ارقام به دست آید، جابجا کنید. این عدد را نیز به خاطر داشته باشید.[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="]3 .[/FONT][FONT="] اکنون باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید.[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="]4 .[/FONT][FONT="] گام های 2 و 3 را تکرار کنید تا آنجا که متوجه شوید اتفاق خاصی، روند را برهم می زند و قبل از آنکه چیز غیر معمولی ندیدید از آن دست نکشید.[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="]ممکن است پس از یک تفریق یا پس از چند تفریق سرانجام به عدد 6174 خواهید رسید و پس از آن شما در یک حلقه ی بی پایان گیر افتاده اید.[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="]برای آنکه بهتر متوجه شوید ، اجازه دهید با عدد انتخابی 3203 شروع کنیم :[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="][FONT="] [FONT="] بزرگترین عددی که با ارقام 3203 می توان ساخت عدد 3320 است.[/FONT] [FONT="] کوچکترین عددی که با ارقام 3203 می توان ساخت عدد 0233 است.[/FONT] [FONT="] تفاضل این دو عدد برابر با 3087 خواهد بود و روند را برای 3087 ادامه می دهیم.[/FONT] [FONT="]بزرگترین عددی که با ارقام 3087 می توان ساخت عدد 8730 است.[/FONT] [FONT="]کوچکترین عددی که با ارقام 3087 می توان ساخت عدد 0378 است.[/FONT] [FONT="]تفاضل این دو عدد برابر با 8352 خواهد بود و روند را برای 8352 ادامه می دهیم.[/FONT] [FONT="] بزرگترین عددی که با ارقام 8352 می توان ساخت عدد 8532 است.[/FONT] [FONT="] کوچکترین عددی که با ارقام 8352 می توان ساخت عدد 2358 است.[/FONT] [FONT="] تفاضل این دو عدد برابر با 6174 خواهد بود . زین پس اگر روند را برای 6174 ادامه دهیم ، در تفاضل همواره همین عدد ظاهر خواهد شد.[/FONT] [FONT="]بزرگترین عددی که با ارقام 6174 می توان ساخت عدد 7641 است.[/FONT] [FONT="]کوچکترین عددی که با ارقام 6174 می توان ساخت عدد 1467 است ، [/FONT] [FONT="]که تفاضل این دو عدد برابر با 6174 است و ما در یک چرخه ی بی پاین افتاده ایم[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی مطلب شگفت انگیز دیگری را که می خواهیم درباره ی 1089 بیان کنیم، این گونه آغاز می کنیم. 1089 را به دو عدد 1 و 89 تجزیه می کنیم. جالب است بدانید اگر هر عدد ِ دلخواه را انتخاب کنیم و توان دوم ارقام آن را با هم جمع کنیم و این عمل را برای حاصلجمع ها تکرار کنیم، سرانجام به 1 یا 89 می رسیم. مثلا ً با انتخاب عدد 30 خواهیم داشت : و اگر با عدد 31 آغاز کنیم : در این روند، اگر به عدد 89 برسیم ، یا عدد 89 را از ابتدا انتخاب کنیم، و همچنان ادامه دهیم باز هم به عدد 89 می رسیم و هرگاه برای دومین بار به 89 رسیدیم، از آن به بعد در یک دور بین دو 89 گرفتار می شویم. اما در این روند، هرگاه به عدد 1 برسیم، پس از آن همواره 1 ظاهر می شود : در پایان این قسمت، اثباتی جبری بر بازی انتخاب عدد سه رقمی بیان می کنیم. 1. نخستی گام این بود که یک عدد سه رقمی ، با ارقام یکان و صدگان متفاوت ، انتخاب کنبم. اگر فرض کنیم sda ، این عدد سه رقمی باشد ، a و d و s هر کدام یک رقم از این عدد را تشکیل می دهند که عددی بین 0 و 9 هستند. می توانیم فرض کنیم s از a بزرگتر باشد. بنابراین عدد سه رقمی به صورت زیر خواهد بود : 2. در دومین گام باید برعکس عدد را به دست آوریم که در این حالت برعکس sda ، عدد ads است که به صورت زیر است : 3. اکنون بایستی تفاضل دو عدد را محاسبه کنیم . چون در گام نخست، s را از a بزرگتر گرفتیم، پس sda > ads و به محاسبه ی تفاضل زیر می پردازیم : چون در رقم یکان ها داریم a < s ، پس باید بنابر قاعده ی تفاضل دو عدد، یک واحد از دهگان قرض بگیریم و به یکان 10 واحد بیافزاییم . بنابراین رقم یکان به صورت زیر محاسبه می شود : حال نوبت به کم کردن دهگان ها می رسد. در این حالت نیز از صدگان یک واحد قرض گرفته و به دهگان ده واحد اضافه می کنیم : و تفریق صدگان ها را انجام می دهیم تا تفاضل به دست آید : 4. در این گام می بایست برعکس ِ تفاضل را بیابیم . برعکس تفاضل چنین است : 5. گام پایانی نیز به جمع دو عدد اخیر می پرداخت. پس داریم : که حاصل همان عدد شگفت انگیز 1089 است!!!...
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی این قسمت درباره ی عددی است که ویژگی های شگفت انگیز و استثنایی بسیاری دارد. نخستین ویژگی آن را با یک بازی شروع می کنیم. مراحل بازی به صورت زیر است : 1. ابتدا یک عدد سه رقمی که ارقام یکان و صدگان آن متفاوت باشد، انتخاب کنید. ( مثلا ً شما عدد 462 را انتخاب می کنید. ) 2. این عدد را بر عکس کنید. . 3. این دو عدد را از هم کم کنید. روشن است که باید عدد ِ کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید : . 4. حاصل تفریق را برعکس کنید : . 5. دو عدد آخر را با هم جمع کنید : . بله به عدد 1089 رسیدید. این همان ویژگی استثنایی عدد 1089 است. اگر مراحل این بازی را برای هر عدد دلخواه سه رقمی که رقم یکان و صدگان متفاوت دارد، دنبال کنید، باز هم به عدد 1089 می رسید. برای آسودگی خیال ، حتما ً با چند عدد امتحان کنید. اگر به عدد 1089 نرسیدید، مطمئن باشید که در محاسبات خود اشتباه کرده اید. اگر عدد انتخابی شما، رقم یکان و صدگان مساوی داشته باشد، برعکسش با خودش برابر خواهد شد و تفاضل آن ها صفر است. اما ویژگی بعدی 1089، کمی شبیه الگوهای شگفت انگیز است. به 9 حاصلضرب نخست ِ عدد 1089 نگاه کنید : در اعداد حاصلضرب، از بالا به پایین، رقم یکان که اولین رقم سمت راست است، از 9 شروع شده و در هر مرحله، یک واحد از آن کم می شود تا در نهمین مرحله به 1 می رسد. رقم هزارگان، که اولین رقم سمت چپ است، برعکس ِ رقم یکان، از 1 شروع می شود و در هر مرحله یکی به آن افزوده می شود تا سرانجام در نهمین مرحله به 9 می رسد. ارقام ِ دهگان و صدگان نیز وضعیت مشابهی دارند، با این تفاوت که آنها در بازه ی بین 0 و 8 ، کم و زیاد می شوند. اگر باز هم به این الگو بنگریم، متوجه می شویم که نخستین حاصلضرب، برعکس ِ نهمین ِ آنهاست و دومین حاصلضرب ، برعکس ِ هشتمین آنها و ... تا انجا که پنجمین حاصلضرب، که دقیقا ً در وسط ِ حاصلضرب ها قرار دارد، برعکس ِ خودش است. ( 5445 ). چنین اعدادی را که خودشان با برعکسشان برابرند، خود برعکس می گویییم که در قسمتی جداگانه بررسی خواهیم کرد. دوباره به نهمین حاصلضرب دقت کنید : عدد 9 در 1089 ضرب شده است و آن را برعکس کرده است. به نیز دقت کنید. 9 در 10989 نیز ضرب شده و آن را برعکس کرده است!!!. چه رابطه ای بین 1089 و 10989 وجود دارد؟ آری ، گویی یک رقم 9 ، بین ارقام صفر و 8 قرار گرفته است. حاصلضرب نیز چنین است و دو رقم 9 بین ارقام صفر و 8 قرار گرفته است. این روند را می توان ادامه داد . اگر هر تعداد دلخواه ، رقم ِ 9 بین ارقام صفر و هشت ِ عدد 1089 قرار دهیم و حاصل را در 9 ضرب کنیم، عدد برعکسش به دست می آید. ببینید : یک عدد 4 رقمی دیگر نیز وجود دارد که مضربی از 1089 است و اگر در 4 ضرب شود، برعکسش به دست می آید. آن عدد است. ببینید : در این عدد نیز اگر بین ارقام 1 و 7 ، هر تعداد 9 قرار دهیم و آن را در 4 ضرب کنیم، در هر حالت برعکس اعداد به دست می آید :
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی [FONT="]گاهی وقت ها ، اعداد بسیار بهتر از بیانات ما صحبت می کنند. مطلب این قسمت نیز از این دسته است. پس بهتر است به تساوی های زیر نگاه کنید و به زیبایی های آن پی ببرید :[/FONT] [FONT="]آیا شما نیز می توانید چنین تساوی هایی بیابید؟[/FONT]
