پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی روابط توانی شگفت انگیز به عدد زیر نگاه کنید : بله 81 برابر است با توان دوم ِ مجموع ارقامش. آیا اعداد دیگری با این ویژگی وجود دارند؟ به عدد زیر نیز توجه کنید : حتما ً شگفت زده شده اید ! در این قسمت می خواهیم اعدادی را معرفی کنیم که این اعداد با توانی از مجموع ِ ارقامشان برابرند. البته در این میان، اعداد یک رقمی با مجموع ارقامشان به توان 1 برابند و از آن ها چشم پوشی می کنیم. یافتن اعداد کوچک با این ویژگی کار ساده ای است اما یافتن اعداد بزرگتر بسیار مشکل و زمان بر خواهد بود. در جدول زیر تعدادی از این اعداد را به نمایش در آورده ایم . ببینید و لذت ببرید : جدول شماره 1 = 81 = 81 = 512 = 4913 = 5832 = 17576 = 19683 = 2401 = 234256 = 390625 = 614656 = 1679616 = 17210368 = 52521875 = 60466176 = 205962976 = 34012224 = 8303765625 = 24794911296 = 68719476736 = 612220032 = 10460353203 = 27512614111 = 52523350144 = 271818611107 = 1174711139837 = 2207984167552 = 6722988818432 = 20047612231936 = 72301961339136 = 248155780267521 جدول شماره 1
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این قسمت اعداد شش رقمی را معرفی خواهیم کرد که شکل خاص آن ها سبب ِ ویژگی منحصر به فرد آن ها یا شاید ویژگی منحصر به فرد آنها، سبب شکل خاص آن ها شده است . این اعداد به صورت متقارن ِ abcabc هستند. جالب است بدانید این گونه اعداد، همواره بر اعداد 7 و 11 و 13 ، بخش پذیرند. به مثال های زیر توجه کنید : شکل شماره 1 آیا تکنون به این نکته توجه کرده بودید؟ فکر می کنید این ویژگی شگفت انگیز از کجا آمده است؟ این ویژگی از عدد 1001 سرچشمه می گیرد. عدد 1001، حاصلضرب سه عدد 7 و 11 و 13 است و هر عدد ِ سه رقمی abc که در 1001 ضرب شود، به شکل متقارن ِ abcabc در خواهد آمد. بنابراین بر آن سه عدد بخش خواهد بود. اکنون اکنون شرط دیگرینیز بیان می کنیم که اعداد به شکل abcabc ، علاوه بر سه عدد 7 و 11 و 13 ، بر عدد 3 نیز بخش پذیر شوند. با قرار دادن a = b = c ، به اعدادی با این ویژگی می رسیم. شکل شماره 2 این ویژگی جدید از آنجاست که هر عدد سه رقمی با ارقام تکراری، بر 3 بخش پذیر است. پس حاصلضرب آن در هر عددی ، از جمله 1001 ، بر 3 بخش پذیر است.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی [FONT="]در این قسمت یکی از زیباترین و شگفت انگیز ترین الگو ها را معرفی می کنیم. این الگو رابطه ی بین ضرب و جمع را به زیبایی به نمایش می گذارد. این الگو شما را بیش از الگوهای قبل شگفت زده خواهد کرد. ابتدا الگو را ببینید :[/FONT] الگوی شماره 19 [FONT="]با این الگوی روشن ، آیا جایی برای توضیح آنچه در جریان است باقی می ماند؟[/FONT] [FONT="][FONT="]به این ترتیب، بحث درباره ی الگوهای شگفت انگیز اعداد را در همین جا به پایان می بریم، نه به این معنی که دیگر الگویی وجود ندارد، بلکه فکر می کنیم شما انگیزه ی لازم برای یافتن چنین الگوهایی را کسب کرده اید. شما می توانید با کمی تمرین به خودکفایی ! برسید و الگوهای این چنین بسازید.[/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="]در دیگر قسمت های این فصل ، به بیان دیگر ویژگی های شگفت انگیز اعداد خواهیم پرداخت.[/FONT][/FONT][/FONT]
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این قسمت دو الگوی متفاوت ارائه می کنیم. نخستین الگوی این قسمت با استفاده از عدد 9 ساخته می شود. در آن ، از این ویژگی ِ 9 استفاده می شود که یک واحد از پایه ی اعداد طبیعی ، 10، کمتر است. زیبایی این الگو نیاز به تفسیر ندارد و شما با دیدن الگو می توانید به شگفتی آن پی ببرید : الگوی شماره 17 اما دومین الگوی این قسمت زیبایی منحصر به فرد دارد. در این الگو ، تعدادی از اعداد ِ هشت رقمی را معرفی می کنیم که در آن ها هر رقم به جز رقم 9، یک بار ظاهر شده است و حاصلضرب این اعداد با 9، عددی نه رقمی می باشد که همه ی ارقام 1 تا 9 در آن تنها یک بار ظاهر می شود. به این الگو توجه کنید : الگوی شماره 18 اعداد هشت رقمی ِ معرفی شده در الگوی شماره 18، تعداد کمی از بسیار اعدادی هستند که این ویژگی را دارند. شاید خالی از لطف نباشد که شما نیزکمی جستجو کرده و تعدادی از این اعداد را بیابید. چرا که لذت شگفتی این اعداد، در صورتی که خود سهمی در شهود آن نداشته باشید، ناچیز است.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی عدادی که در این قسمت خواهیم گفت بسیار زیبا هستند. در این اعداد ، یک رابطه ی بسیار شگفت انگیز برقرار است. ببینید : به توان های متوالی دقت کنید. آیا می توانید اعدادی با این ویژگی بیابید؟ ما تعدادی از این اعداد را به شما معرفی می کنیم : آیا این ویژگی در اعداد 4 رقمی نیز یافت می شود؟ پاسخ این سوال مثبت است . ببینید : بر شماست که اعدادی با این ویژگی بیابید و از آن لذت ببرید. اما اعداد شگفت انگیز دیگری نیز وجود دارند که این اعداد ، با مجموع هر رقم شان به توان همان رقم برابرند. عدد زیر اینگونه است، به آن توجه کنید : شگفت انگیز است! اگر را در این موارد خاص 0 بنامیم عدد زیر نیز بسیار شگفت انگیز خواهند بود : اگر به جست و جوی چنین اعدادی بروید؛ به بیراهه نرفته اید ، زیرا خرسندی به دست آمده از کشف اعداد جدید برای شما کافی است.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی اعداد کامل در این صفحه ، اعداد کامل را آن چنان که در محافل ریاضی تعریف می شود ، معرفی می کنیم. در گفتار های نظریه اعداد، « عدد کامل » عددی تعریف می شود که با مجموع ِ مقسوم علیه های سره اش برابر باشد. کوچترین عدد کامل 6 است زیرا 6=1+2+3 . همچنین 6 تنها عددی است که مجموع و حاصلضرب ِ مقسوم علیه های سره اش است : و همچنین و جالب است بدانید که . عدد کامل بعدی 28 است و پس از ان عدد 496 است : 28=1+2+4+6+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 یونانیا ن باستان چهار عدد ِ کامل نخست را می شناختند. این اعداد 6 و 28 و 496 و 8128 هستند. « اقلیدس » فرمولی برای یافتن اعداد کامل ارائه کرده است. اقلیدس می گوید : « اگر یک عدد اول باشد، آنگاه یک عدد کامل است . » یعنی اگر مقداری از k را بیابیم که به ازای آن مقدار، عدد ، اول باشد ، آنگاه می توانیم یک عدد اول بسازیم. دقت کنید که رابطه ی اقلیدس را نمی توانیم برای همه ی مقادیر طبیعی k ، داشته باشیم زیرا اگر k یک عدد مرکب مانند pq باشد ، آنگاه بنابراین تنها وقتی می تواند یک عدد اول باشد که k اول باشد. اما هیچ ضمانتی وجود ندارد که اگر k اول باشد ، نیز اول باشد. به چند مقدار ِ k در جدول زیر توجه کنید : 13 11 7 5 3 2 k 8191 2047 127 31 7 3 که عدد اول نیست در حالی که k = 11 اول است. اگر روش اقلیدس را برای ساختن اعداد کامل به کار بریم به اعداد کامل جدول زیر می رسیم : جدول اعداد کامل با استفاده از فرمول اقلیدس مقدار k مقدار وقتی که اول باشد 2 6 3 28 5 496 7 8128 13 33550336 17 8589869059 19 137438691328 اگربه جدول توجه کنیم گویی تمام اعداد ِ کامل یا به 6 ختم می شوند یا به 28. همچنین به نظر می رسد اعداد کامل « اعداد مثلثی » هستند که برابرند با مجموع تعدادی از اعداد طبیعی پشت سر هم که از 1 شروع می شوند. مثلا" 31+30+29+28+....+4+3+2+1=496 که در بخش های آینده به این گونه اعداد خواهیم پرداخت. اگر یک گام جلو تر برویم باید بگوییم که هر عدد کامل بعد از 6 ، یک مجموع جزئی از سری زیر است : مثلا ً و . شما باید تعدادی از این مجموع های جزئی متناظر با اعداد کامل را بیابید. ما نمی دانیم که آیا عدد ِ کامل ِ فردی وجود دارد یا خیر!!! اما هنوز چنین عددی یافت نشده است. با استفاده از کامپیوتر ها به آسانی می توانیم اعداد کامل ِ بزرگتر را بیابیم .
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی دوستی اعداد آیا می توانید بگویید کدام دو عدد را دوشت می دانیم ؟ یا چه اعدادی دوست یکدیگرند؟ جالب است بدانید که ریاضی دانان ، تصمیم گرفته اند که دو عدد را که مجموع ِ مقسوم علیه های سره ی عدد اول با مجموع مقسوم علیه های سره ی عدد دوم برابر است ، دوست ِ یکدیگر بدانند . فکر کنیم که حسابی گیج شده باشید. پس بدانید که کوچکترین « اعداد دوست » ، 220 و 284 هستند زیرا : مقسوم علیه های سره ی 220 ، اعداد 1 و 2 و 4 و 5 و 10 و 11 و 20 و 22 و 44 و 55 و 110 است که مجموع این اعداد برابر با عدد دوم است و مقسوم علیه های سره ی 284 ، اعداد 1 و 2 و 4 و 71 و 142 هستند که مجموعشان که برابر با عدد نخست است. این گونه نشان می دهید که دو عدد ، دوست یکدیگرند. دومین حفت از اعداد ِ دوست ، توسط پیردفرما ( 1655 – 1601 ) کشف شد. این دو عدد 17296 و 18416 هستند. البته تأکید می کنیم که این جفت ، دومین جفت از نظر کشفیات است. مجموع مقسوم علیه های سره ی 17296 این گونه است : و مجموع مقسوم علیه های سره ی عدد 18416 نیز چنین است : تعدادی از جفت اعداد ِ دوست را ببینید : اکنون روشی را برای پیدا کردن اعداد دوست معرفی می کنیم . فرض کنید که n یک عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی با 2 باشد و a و b و c اعداد اول باشند. در این صورت و ، دوست یکدیگرند. دقت کنید که برای تنها مقادیر n = 2 , 4 , 7 ، اعداد اول a و b و c را به ما می دهند.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی دوستی ِ دیگری در اعداد [FONT="]همواره می توانیم روابط زیبایی را بین اعداد جستجو کنیم. بعضی از این روابط ، واقعا ً هوش از سر ِ آدمی می برند. مثلا ً دو عدد ِ 3869 و 6205 را در نظر بگیرید.[/FONT] [FONT="][FONT="]شاید نتیجه ی زیر برای شما خیالی به نظر برسد :[/FONT][/FONT] [FONT="][/FONT] [FONT="]این دو عدد را یک الگو در نظر بگیرید و با این الگو اعداد جدیدی را بیابید. دو عدد زیر نیز رفتاری مشابه دارند[/FONT]
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی اعداد خود برعکس ( متقارن ) بسیاری از واژه ها ، عبارات و جملات وجود دارند که اگر آن ها را از ابتدا به انتها بخوانیم و یا از انتها به ابتدا بخوانیم ، یکسان اند. به این گونه واژها ، عبارات و جملات ؛ واژها ، عبارات و جملات ِ خود برعکس یا متقارن می گوییم. به واژه ها و عبارت زیر توجه کنید : کمک کتک شوش توت داماد شاباش شکربترازوی وزارت برکش به واژگان انگلیسی زیر نیز توجه کنید : RADAR ROTATOR MADAM I'M ADAM NO LEMONS, NO MELON در تاریخ ها نیز ، روز هایی وجود دارند که خود برعکس اند ، مثلا ً بیست و یکم خرداد ِ 1230 : یا بیست و یکم بهمن 1211 : حتی می توانیم ساعات را در این زیبایی شریک کنیم ، مثلا ً ساعت ِ نه و سی و سه دقیقه و دوازده ثانیه ی شب : ، یا ساعت پنج و پنجاه ثانیه ی صبح : یا حتی یک روز مشخص از سال ، زمان مشخصی مثلا ً روز یازدهم مرداد 1363 ، ساعت پانزده و سی و شش دقیقه و سی و یک ثانیه : و اگر ماه ها را نیز دو رقمی بنویسیم ، تاریخ زیر خود برعکس است : شما نیز می توانید چنین روزهایی را بیابید ، شاید روز تولد شما چنین روزی باشد !!! اکنون به اعداد خود برعکس می پردازیم : به چهار توان ِ اول ِ عدد 11 توجه کنید : یک عدد خودبرعکس می تواند عددی اول یا مرکب باشد. مثلا ً 151 یک عدد ِ اول ِ خودبرعکس است و 171 یک عدد مرکب خودبرعکس است ولی نکته جالب توجه این است که به جز عدد ِ 11 ، دیگر اعداد اول خودبرعکس ، تعداد ارقام فرد دارند. چگونه می توان یک عدد خودبرعکس ساخت ؟ این کار بسیار ساده است و از هر عددی می توان عدد ِ خودبرعکس ساخت. عدد دلخواهی را انتخاب کنید و آن را با برعکسش جمع کنید. اگر حاصل جمع، عددی خودبرعکس بود کار تمام است وگرنه حاصل را نیز با برعکسش جمع کنید. با ادامه ی این روند ، سرانجام به عدد خودبرعکس خواهید رسید. بعضی اعداد خودبرعکس پس از یک مرحله به دست می آیند و برخی بیشتر. برای نمونه اگر عدد 23 را انتخاب کنیم پس از یک مرحله ، عدد خود برعکس به دست می آید : 23 + 32 = 55 . با انتخاب عدد 75 ، پس از دو مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم : و با انتخاب 86 ، پس از 3 مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم : اگر 97 را انتخاب کنیم ، در 6 مرحله به عدد خودبرعکس می رسیم و برای عدد 98 ، 24 مرحله تا رسیدن فاصله است. اگر عدد 196 را انتخاب کنید ، با صبر و حوصله سرانجام به عدد خودبرعکس می رسید !!!!
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی چگونه به یک عدد می توان شکل هندسی داد ؟ اگرچه اعداد شکل هندسی ندارند، اما گاهی اوقات با قراردادن ِ نقطه به جای اعداد ، می توان به آن ها شکل هندسی منظمی نسبت داد. چند نمونه از این اعداد و اشکال را ببینید : اعداد مثلثی : اعداد مربعی : اعداد پنج ضلعی : اعداد شش ضلعی : باید جالب توجه باشد اگر بتوانید رابطه ای بین این اعداد بیابید. اگر این اعداد گوشه دارد را به ترتیب ِ زیر تغییر ِ شکل دهیم ، قادر خواهید بود بعضی از این ویژگی ها را پیدا کنید. مثلا ً n-مین عدد مربعی با مجموع ِ n-مین و n-1 -مین عدد مثلثی برابر است. یا n-مین عدد پنج ضلعی با مجموع n-مین عدد مربعی و n-1-مین عدد مثلثی برابر است. اگر به شکل های زیر که تغییر یافته ی شکل های بالا هستند دقت کنید، رابطه های زیادی را می توانید بیابید یا کشف کنید !!! اعداد پنج ضلعی : اعداد شش ضلعی : همچنین می توانیم اعداد مستطیلی با عدد را معرفی کنیم مثلا ً در اینجا روابطی را که شامل اعداد مستطیلی هستند را بیان می کنیم. گرچه این رابطه ها اثبات می شوند ولی شما برای اطمینان خاطر بایستی با چند مثال ، درستی هریک را تحقیق کنید. 1. یک عدد مستطیلی ، مجموع اعداد ِ زوج ِ متوالی است : 2. یک عدد مستطیلی ، دو برابر ِ عدد مثلثی است : 3. مجموع دو عدد مربعی ِ متوالی با مربع ِ عدد مستطیلی ِ بین آن ها ، یک مربع ِ کامل است : 4. مجموع دو عدد ِ مستطیلی ِ متوالی با دو برابر ِ عدد ِ مربعی ِ بین آن ها ، یک مربع کامل است : 5. مجموع ِ یک عدد ِ مستطیلی با عدد ِ مربعی ِ بعد از آن ، یک عدد ِ مثلثی است : 6. مجموع یک عدد ِ مربعی با عدد مستطیلی ِ بعد از آن ، یک عدد مثلثی است : 7. مجموع یک عدد با مربعش، یک عدد مستطیلی است : شما نیز می توانید روابط دیگری را که بین دیگر اعداد ِ گوشه دار وجود دارد، کشف کنید.
