فصل اول : زیبایی در اعداد در دستگاه اعداد ، ضرب هایی وجود دارند که طبیعت بسیار شگفت انگیزی دارند. برای بیان برخی از این الگوها کلمات زیادی لازم نیست و تنها با نگاه به الگو های داده شده، شگفتی آنها بیننده ی دانا را شگفت زده می کند. نگاهی به دو الگوی زیر اندازید : الگوی شماره 1 الگوی شماره 2 آیا رقص اعداد در الگوهای 1 و 2 برای شما شگفت انگیز نیست؟ ببینید با چه زیبایی می توان ارقام 1 تا 9 را به ترتیب کنار هم چید. کمی جستجو کنید و تلاش های خود را بکار بندید و ببینید آیا شما هم می توانید چنین الگوهایی بیابید. عدد 076923 را به خاطر بسپارید. می خواهیم رقم های این عدد را طوری بچرخانیم که در هر مرحله، اولین رقم سمت چپ، جای اولین رقم سمت راست را گرفته و دیگر رقم ها هر کدام یک مکان به سمت چپ منتقل شوند. فکر می کنید چگونه این کار انجام می شود؟ بله با چند ضرب ساده این ارقام را به گردش در می آوریم : الگوی شماره 3 دوباره عدد 76923 را به یاد آورید. در الگوی شماره 3، چرخشی از ارقام همین عدد را مشاهده فرمودید. در الگوی شماره 4 نشان می دهیم که چگونه با استفاده از این عدد ، ارقام عدد 153846 را همان گونه که گفته شد، می چرخانیم. به الگو توجه کنید : الگوی شماره 4 دوباره به الگو های 3 و 4 دقت کنید. آیا نکته ی دیگری توجه شما را به خود جلب نمی کند؟ بله دنباله ی اعداد 1 و 2 و... و 12 نیز جلب توجه می کند. هر کدام از این اعداد تنها در یکی از الگو ها مشاهده می شوند ، به گونه ای که گویی این دو الگو مکمل یکدیگرند ! ادامه دارد....
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی عدد شگفت انگیز بعدی که در مورد آن صحبت می کنیم عدد 142857 است. با ضرب این عدد در اعداد ا تا 6، البته با ترتیبی که در الگوی شماره 5 مشاهده می کنید، چرخش ارقام آن در جهت مخالف حالت قبل، به دست می آید. به الگو نگاه کنید : الگوی شماره 5 شگفت این است که با ضرب این عدد در 7، عدد 999999 به دست می آید و پس از آن دور جدید شگفتی آغاز می شود . دوره های شگفتی این عدد 7 تایی است و اگر ضرب وند های 1 تا 7 در الگوی شماره 5 را با عدد 7 جمع کنیم، الگوی جدید زیر به دست می آید : الگوی شماره 6 به حاصل ضرب ها دقت کنید! آیا می توانید بگویید چه تفاوتی با حاصل ضرب های نظیر خود در الگوی شماره 5 دارند؟ بله ، شگفتی این جاست که اگر عدد 1 که اولین عدد سمت چپ هر یک از حاصل ضرب هاست را حذف کنیم و در عوض به رقم یکان ، این یک واحد را بیافزاییم، همان حاصل ضرب های الگوی 5 به دست می آیند! زیباست نه ؟ ! این قانون برای مضرب 7 نیز تکرار شده است! زیباتر آن است که این روند در دوره های بعد نیز تکرار می شوند. اگر یک مرحله ی دیگر نیز پیش رویم و به ضرب وندها عدد را بیافزاییم ، در حاصل ِ ضرب ها این گونه تغییر ایجاد می شود : رقم یکان شکسته می شود و دو واحد از آن کم می شود و این عدد 2، در ابتدای ارقام از سمت چپ قرار می گیرد : الگوی شماره 7 تحقیق این که بگویید این روند تا چه مرحله ای امکان پذیر است، بر عهده ی شماست. امیدواریم با انجام آن به زیبایی نهفته در این اعداد پی برده و به لذت معنوی آن دست یابید.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در الگوهای 7 و 8 ارقام 1 تا 9 را کنار هم چیده و با مضارب 1 تا 9 از 9 ضرب می کنیم. نتایج شگفت انگیزی به دست آمده است. فکر نمی کنیم نیازی به توضیح این الگو ها باشد. برای توصیف این زیبایی ها نیاز به لغات زیادی نیست و چشم ها با دیدن آن ها، شگفتی را دریافت کرده و به مغز ارسال می کنند و وجودتان را سرشار از شادمانی می کنند. حتما ً شما نیز با دیدن این الگو ها، پی به شگفتی ِ آن ها خواهید برد. الگوی شماره 7 الگوی شماره 8 به جاست که در این الگو ها تفکر کنید و با ضرب کردن مضارب بالاتر از 9 و یا با افزودن رقم هایی به ضرب وند اول، به جستجوی الگوهای شگفت انگیز جدید بپردازید. حتما ً از انجام این کار لذت خواهید برد...
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این قسمت دو الگو با استفاده از عدد 9 معرفی می کنیم. در الگوی نخست خواهید دید که چگونه می توان به تعداد دلخواه عدد 1 را کنار هم قرار داد. و در الگوی بعدی نیز به تعداد دلخواه عدد 8 ، کنار هم قرار می دهیم. به الگو ها توجه کنید : الگوی شماره 9 الگوی شماره 10 اکنون که شما نیز الگو ها را دیده اید، تصدیق می کنید که نیاز به توضیح بیشتر این الگو ها نبود؛ چرا که این کار از زیبایی های الگو ها می کاهد. به عهده ی شماست که تحقیق کنید آیا با اعداد دیگر نیز می توان نتایح مشابهی به دست آورد یا خیر؟ البته در قسمت بعدی دو الگوی زیبا با عدد 11 خواهید دید.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در قسمت قبل دیدیم که چگونه می توان یک ها را با استفاده از 9 کنار هم چید. در اولین الگوی این بخش خواهیم دید که چگونه این کار را با استاده از 11 انجام می دهیم. به الگو توجه کنید : الگوي شماره 11 این الگو علاوه بر این که زیبایی الگوهای 9 و 10 را دارد، زیبای دیگری نیز دارد و آن رقص ارقام 0 و 1 در این الگو است. الگوی بعدی که با عدد 11 ساخته می شود رقم های 1 تا 9 را به ترتیب کنار هم ایجاد خواهیم کرد. البته در الگوی شماره 2 ، عمل مشابهی با استفاده از عدد 8 انجام دادیم . به تفاوت بین این دو الگو توجه کنید و بیابید چه عاملی این دو الگو را از هم متمایز می کند. الگوي شماره 12 امیدواریم با استفاده از این الگو ها و نبوغ سرشار خود ، بتوانید الگوهای جدید با اعداد جدید بسازید. با این کار خود و دیگران را غرق در لذت خواهید کرد.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی الگوهایی که تا کنون ارائه شد، الگو های ساده ای بودند اما الگویی که در این قسمت ملاحظه خواهید کرد کمی پیچیده تر است. در این الگو از ارقام 1 و 8 استفاده می شود و اعدادی ساخته می شود که علاوه بر خاصیت ترتیبی ارقام آن ها، ترکیبی از ارقام نیز لحاظ شده است. به الگو نگاه کنید. الگوی شماره 13 [FONT="]به رقم یکان این الگو نگاه کنید ؛ عدد 8 ؛ این عدد در نخستین مرحله بوجود می آید و تا پایان ثابت می ماند. رقم دهگان نیز در مرحله ی دوم به دست می آید و تا پایان ثابت می ماند. این روند برای نیمه ی سمت راست برقرار است. اما در نیمه ی سمت چپ، اولین رقم سمت چپ؛ عدد 9 ؛ در جایگاه خود یعنی به عنوان اولین رقم سمت چپ باقی می ماند و ارقام ِ پس از آن در هر مرحله یک واحد کمتر می شوند تا سرانجام در مرحله ی نهم به عدد 2 می رند و در دهمین مرحله به صفر ختم می شوند. در همین هنگام، اعداد نیمه ی راست نیز جایگاه خود را یافته و در آن ثابت می شوند. البته در ترتیب اعداد نیمه ی راست، یک آشفتگی وجود دارد. اما این آشفتگی ها نه تنها از زیبایی های الگو نمی کاهد بلکه بر شگفتی و زیبایی آن می افزاید.[/FONT]
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی الگو های این قسمت در رابطه با عدد 9 است. آیا تاکنون به ردیف ِ نهم جدول ضرب توجه کرده اید ؟ الگوی شماره 14 توجه کنید که در هر مرحله ، در ارقام حاصلضرب چگونه تغییر ایجاد می شود. گویی از رقم یکان یک واحد کم شده و به رقم دهگان یک واحد افزوده می شود. این الگو می تواند سرچشمه ای برای الگوهای گسترده تر باشد. به این ترتیب که اگر اعدادی که تمام رقم های آن 9 است، مثلا ً 9999 ، را به ترتیب در اعداد 1 تا 10 ضرب کنیم، یک چنین الگویی خواهیم داشت. به الگو های 15 و 16 توجه کنید. الگوی شماره 15 الگوی شماره 16 همان گونه که مشاهده می کنید، در این الگو ها نیز از رقم یکان ( نخستین رقم سمت راست) یک واحد کم شده و به نخستین رقم سمت چپ یک واحد افزوده می شود. این ویژگی را می توان به عنوان یک قانون کلی پذیرفت. برای اطمینان خاطر، می توانید اعداد با ارقام بیشتر 9 را بیازمایید.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این قسمت دو الگوی متفاوت ارائه می کنیم. نخستین الگوی این قسمت با استفاده از عدد 9 ساخته می شود. در آن ، از این ویژگی ِ 9 استفاده می شود که یک واحد از پایه ی اعداد طبیعی ، 10، کمتر است. زیبایی این الگو نیاز به تفسیر ندارد و شما با دیدن الگو می توانید به شگفتی آن پی ببرید : الگوی شماره 17 اما دومین الگوی این قسمت زیبایی منحصر به فرد دارد. در این الگو ، تعدادی از اعداد ِ هشت رقمی را معرفی می کنیم که در آن ها هر رقم به جز رقم 9، یک بار ظاهر شده است و حاصلضرب این اعداد با 9، عددی نه رقمی می باشد که همه ی ارقام 1 تا 9 در آن تنها یک بار ظاهر می شود. به این الگو توجه کنید : الگوی شماره 18 اعداد هشت رقمی ِ معرفی شده در الگوی شماره 18، تعداد کمی از بسیار اعدادی هستند که این ویژگی را دارند. شاید خالی از لطف نباشد که شما نیزکمی جستجو کرده و تعدادی از این اعداد را بیابید. چرا که لذت شگفتی این اعداد، در صورتی که خود سهمی در شهود آن نداشته باشید، ناچیز است.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی در این قسمت اعداد شش رقمی را معرفی خواهیم کرد که شکل خاص آن ها سبب ِ ویژگی منحصر به فرد آن ها یا شاید ویژگی منحصر به فرد آنها، سبب شکل خاص آن ها شده است . این اعداد به صورت متقارن ِ abcabc هستند. جالب است بدانید این گونه اعداد، همواره بر اعداد 7 و 11 و 13 ، بخش پذیرند. به مثال های زیر توجه کنید : شکل شماره 1 آیا تکنون به این نکته توجه کرده بودید؟ فکر می کنید این ویژگی شگفت انگیز از کجا آمده است؟ این ویژگی از عدد 1001 سرچشمه می گیرد. عدد 1001، حاصلضرب سه عدد 7 و 11 و 13 است و هر عدد ِ سه رقمی abc که در 1001 ضرب شود، به شکل متقارن ِ abcabc در خواهد آمد. بنابراین بر آن سه عدد بخش خواهد بود. اکنون اکنون شرط دیگرینیز بیان می کنیم که اعداد به شکل abcabc ، علاوه بر سه عدد 7 و 11 و 13 ، بر عدد 3 نیز بخش پذیر شوند. با قرار دادن a = b = c ، به اعدادی با این ویژگی می رسیم. شکل شماره 2 این ویژگی جدید از آنجاست که هر عدد سه رقمی با ارقام تکراری، بر 3 بخش پذیر است. پس حاصلضرب آن در هر عددی ، از جمله 1001 ، بر 3 بخش پذیر است.
پاسخ : شگفتی ها وزیبایی های ریاضی [FONT="]در این قسمت یکی از زیباترین و شگفت انگیز ترین الگو ها را معرفی می کنیم. این الگو رابطه ی بین ضرب و جمع را به زیبایی به نمایش می گذارد. این الگو شما را بیش از الگوهای قبل شگفت زده خواهد کرد. ابتدا الگو را ببینید :[/FONT] الگوی شماره 19 [FONT="]با این الگوی روشن ، آیا جایی برای توضیح آنچه در جریان است باقی می ماند؟[/FONT] [FONT="][FONT="]به این ترتیب، بحث درباره ی الگوهای شگفت انگیز اعداد را در همین جا به پایان می بریم، نه به این معنی که دیگر الگویی وجود ندارد، بلکه فکر می کنیم شما انگیزه ی لازم برای یافتن چنین الگوهایی را کسب کرده اید. شما می توانید با کمی تمرین به خودکفایی ! برسید و الگوهای این چنین بسازید.[/FONT][/FONT] [FONT="][FONT="][FONT="]در دیگر قسمت های این فصل ، به بیان دیگر ویژگی های شگفت انگیز اعداد خواهیم پرداخت.[/FONT][/FONT][/FONT]
