پاسخ : معادلات دیفرانسیل خانواده منحنی ها : گفتیم که جواب عمومی ِ یک معادله دیفرانسیل مرتبه ی n ام ، تابعی به صورت خواهد بود. این تابع به ازای هر مقداری که به ثابت ها نسبت داده شود، یک منحنی را مشخص می کند. بنابراین معادله ی یک دسته یا یک خانواده منحنی است. تاکنون در مورد جواب ِ یک معادله دیفرانسیل بحث می کردیم و درفصل های آینده نیز روش هایی برای یافتن جواب های یک معادله دیفرانسیل بیان خواهیم کرد. اما اکنون می خواهیم عمل عکس انجام دهیم. یعنی می خواهیم معادله دیفرانسیلی را بیابیم که جواب عمومی آن به صورت باشد. به این عمل، یافتن معادله دیفرانسیل ِ یک خانواده منحنی می گویند و معادله دیفرانسیل به دست آمده را معادله دیفرانسیل این خانواده می گوییم. پس فرض کنیم تابع در دست باشد. چون این تابع دارای n ثابت است، n بار از آن مشتق می گیریم. بنابراین به n+1 معادله و n مجهول می رسیم . ( ثابت ها نقش مجهول را دارند.) با حذف ثابت ها از این معادلات، معادله دیفرانسیلی بر حسب y و مشتقاتش به دست می آید که همان معادله ی مورد نظر است. به مثال های زیر توجه کنید : مثال 9: معادله دیفرانسیل دسته منحنی را بیابید. حل : چون معادله شامل دو ثابت است پس دو بار از آن مشتق می گیریم. داریم : مقدار x-b را از معادله ی ''y به دست می آوریم : این مقدار را در معادله ی 'y قرار می دهیم و مقدار a را به دست می آوریم : اکنون مقادیر a و x-b را در معادله ی y قرار می دهیم : که این معادله ی دسته منحنی می باشد. مثال 10: معادله دیفرانسیل دسته منحنی را بیابید : حل : باز هم چون معادله دارای دو ثابت است، دو بار مشتق می گیریم : با نگاهی به معادله ی y و ''y در می یابیم که y''=-y . پس y + y'' = 0 معادله دیفرانسیل این دسته منحنی است.
پاسخ : معادلات دیفرانسیل شکل کلی معادلات خطی مرتبه ی n به صورت زیر است : که در این معادله، ضرایب و همچنین توابعی از x هستند و می توانند اعداد ثابتی باشند و منظور از نیز می باشد. معادله ای که نتوان آن رابه صورت یک معادله خطی نوشت، یک معادله ی غیر خطی نامیده می شود.
فصل دوم : معادلات مرتبه اول در این فصل قصد داریم روش هایی برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ارائه دهیم. در حالت کلی حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ، امر بسیار مشکلی است به این منظور که هنوز نتوانسته ایم یک قاعده ی کلی برای حل تمام معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ارائه دهیم . اما با این وجود، معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را به دسته هایی تقسیم می کنیم وبرای حل هر دسته از این معادلات، روش خاصی بیان می کنیم. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به چهار دسته ی کلی زیر تقسیم می شوند : 1 . معادلات جداپذیر 2 . معادلات همگن 3 . معادلات کامل 4. معادلات خطی البته در این میان معادلاتی وجود دارند که جزء هیچ کدام از چهار دسته نیستند، اما با تغییر متغیر های مناسب می توان آن ها را در این دسته ها جا داد؛ که در جای مناسب بیان خواهند شد. همچنین برخی از معادلات مراتب بالاتر را نیز می توان با تغییر متغیر مناسب به معادله دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل کرد که تعدادی از آن ها رادر این فصل بیان خواهیم کرد.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی ساده ترین شکل معادلات دیفرانسیل ، معادلات جداپذیر هستند. برای حل این معادلات کافی است آن ها را به شکل استاندارد در آورده ، انتگرال بگیریم تا تابع مجهول به دست آید. شکل کلی یک معادله دیفرانسیل جداپذیر این گونه است : یا که در آن ها تابعی از x و تابعی از y است. شکل استاندارد معادله دیفرانسیل نیزاین گونه است : که در این حالت ِ معادله، متغیر های x و y ، از یکدیگر جدا شده اند. یعنی عبارات ِ شامل x در یک سمت علامت تساوی و عبارات شامل y در سمت دیگر آن آمده اند. به همین دلیل است که این معادلات را معادلات جداپذیر می گویند. حل این معادلات بسیار ساده است. کافی است از عبارات شامل x ، نسبت به x و از عبارات شامل y ، نسبت به y انتگرال بگیریم. پس جواب عمومی معادله جداپذیر استاندارد این گونه است : مثال 1.2 : معادله ی را حل کنید. حل : ابتدا بررسی می کنیم آیا این معادله جداپذیر است یا خیر؟ اگر بتوانیم آن را به صورت استاندارد جداپذیر در آوریم، معادله جداپذیر است. پس معادله جداپذیر است و جواب عمومی آن به صورت زیر است : چون c عدد ثابت است پس نیز ثابت است و می توان آن را در نظر گرفت. پس جواب عمومی معادله ی مورد نظر است. ♦ برای اینکه ثابت کنیم عبارت ، جواب عمومی عبارت است، اینگونه عمل می کنیم : با اختیار تابع ، معادله ی به صورت زیر در می آید : اکنون اگر جواب معادله دیفرانسیل باشد داریم : فرض کنیم q یک تابع اولیه برای h باشد یعنی . در این صورت داریم : سمت چپ تساوی بالا، مشتق ِ تابع مرکب است . پس داریم : اما . پس و که این همان معادله ی است . مثال 2.2 : تحقیق کنید آیا معادله ی ، جداپذیر است یا خیر سپس در صورتی که معادله جداپذیر است، جواب عمومی آن را بیابید : حل : بنابراین معادله جداپذیر است. اکنون کافی است از طرفین انتگرال بگیریم : که با استفاده از تکنیک های انتگرال گیری، جواب انتگرال های بالا به صورت زیر خواهد بود : که این جواب عمومی معادله ی داده شده است. مثال 3.2 : معادله دیفرانسیل جداپذیر را حل کنید. حل : شکل استاندارد این معادله به صورت است. بنابراین جواب عمومی آن به صورت است. اما قابل محاسبه نیست و جواب عمومی به همین شکل باقی می ماند.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی برخی از معادلات دیفرانسیل جداپذیر نیستند، اما با تغییر متغیر مناسب ، می توان آن ها را به معادلات جداپذیر تبدیل کرد. شکل ساده ی این معادلات این گونه است : در این معادله ، تغییر متغیر u = a x + b y + c را انجام می دهیم. بنابراین و داریم : پس که این یک معادله ی جداپذیر استاندارد است که پس از حل آن مقدار u را برمی گردانیم. به مثال زیر توجه کنید : مثال 4.2 : جواب عمومی معادله ی را بیابید. حل : قرارمی دهیم u = 4x + 2y + 10 . پس و داریم : که این یک معادله ی جداپذیر استاندارد است و جوای عمومی آن این گونه است : که . اکنون مقدار u = 4x + 2y + 10 را قرار می دهیم : . معادله ی را می تو.ان به صورت کلی تر زیر نوشت : که ، یک چندجمله ای از x از درجه ی n است. برای تبدیل این گونه معادلات به معادلات جداپذیر، بایست n بار تغییر متغیر بگیریم. با مثال زیر این روش را شرح می دهیم. در این مثال برای سادگی، چندجمله ای را از درجه ی 2 انتخاب کرده ایم . مثال 5.2 : جواب عمومی معادله دیفرانسیل را بیابید. حل : ابتدا تغییر متغیر را انتخاب می کنیم و از آن نسبت به x مشتق می گیریم : اما . پس اکنون در این معادله جدید، تغییر متغیر 2 x + 1 + u = v را انتخاب می کنیم و از آن نسبت به x مشتق می گیریم : اما . پس که این یک معادله دیفرانسیل جداپذیر است و جواب عمومی آن به سادگی محاسبه می شود : که . اکنون مقدار v را قرار می دهیم، داریم : و با قرار دادن مقدار u ، تابع y به دست می آید : که این معادله، جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده است. امتحان کنید ! . نکته 1.2 : در معادله ی ، به جای می توان توابعی از x که مشتق مرتبه ی n ام آن عدد ثابتی باشد، قرار داد. در این صورت نیز با n با تغییر متغیر گیری و انجام روش یاد شده، به جواب عمومی معادله می رسیم.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی دسته دیگری از معادلات دیفرانسیلی که جداپذیر نیستند اما با تغییر متغیر های مناسب جداپذیر می شوند به شکل زیر اند : که ضابطه ی تابع f دلخواه است. در این حالت نیز تغییر متغیر u = a x + b y + c به ما در به دست آوردن جواب عمومی کمک می کند. مثال : جواب عمومی معادله دیفرانسیل را بیابید. حل : این معادله به شکل است . قرار می دهیم u = x + y + 1 . پس . بنابراین که این یک معادله ی جداپذیر استاندارد است و جواب عمومی آن این گونه است : اکنون به جای u مقدارش ،x + y + 1 را قرار می دهیم : . شکل کلی دسته معادلات دیفرانسیل دیگری که جداپذیر شدنی هستند این گونه است : با شرط . که. در حقیقت a x + b y +c =0 و با شرط ، معادلات دو خط موازی اند. در این حالت ، با تغییر متغیر u = a x + b y ، معادله ی به یک معادله ی جداپذیر تبدیل می شود. مثال 6.2 : جواب معادله دیفرانسیل را که در شرط اولیه ی y( 0 ) = 1 صدق می کند ، بیابید . حل : در این مثال . پس از تغییر متغیر u = x + y استفاده می کنیم. داریم : بنابراین که این یک معادله ی جداپذیر استاندارد است که جواب عمومی آن این گونه است : اکنون قرار می دهیم u = x + y . پس اکنون شرط y( 0 ) = 1 را اعمال می کنیم و c را می یابیم : پس جواب خصوصی با شرط y( 0 ) = 1 این گونه است : . آخرین دسته معادلاتی که جداپذیر شدنی هستندرا معرفی می کنیم. این معادلات شکل کلی معادلات ، به صورت زیر هستند : که . در این حالت نیز تغییر متغیر u = a x + b y ، معادله را به معادله ی جداپذیر تبدیل می کند. مثال 7.2 : جواب عمومی معادله ی را بیابید. حل : در این معادله انتخاب شده است و دقت داریم که . بنابراین معادله به صورت است و با تغییر متغیر u = x – y خواهیم داشت : همچنین پس که یک معادله جداپذیر استاندارد است و جواب عمومی آن به صورت زیر است : پس جواب عمومی معادله ی اصلی با قرار دادن u = x – y به صورت زیر خواهد بود :
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی برای اینکه بدانیم معادلات دیفرانسیل همگن چه معادله ایست، ابتدا بایستی توابع همگن را بشناسیم و با برخی از ویژگی های آن آشنا شویم. در این درس ابتدا به معرفی تابع همگن می پردازیم و سپس معادله همگن را تعریف کرده و به چگونگی حل آن ها می پردازیم. تعریف تابع همگن : تابع را تابع همگن ِ مرتبه ی n گوییم هرگاه برای هر t ، داشته باشیم البته باید به خاطر داشته باشیم که تابع f ، در نقاط x و tx ، تعریف شده باشد. تابع نمونه ای از تابع همگن مرتبه 2 است زیرا برای هر tx ، t در دامنه ی f است و داریم : تابع همگن برای توابع چند متغیره نیز تعریف می شود. چون در این درس، بیشتر با توابع دو متغیره سر و کار داریم ، تعریف تابع همگن دو متغیره را نیز بیان می کنیم. تعریف تابع دو متغیره ی همگن : تابع را تابع همگن ِ مرتبه ی n گوییم هرگاه برای هر t داشته باشیم به شرط اینکه نقاط در دامنه ی تابع باشند. ویژگی های تابع همگن : اگر توابع و ، همگن مرتبه ی n باشند، آنگاه توابع همگن مرتبه ی n و تابع همگن مرتبه ی 2n و تابع ، با شرط ، همگن مرتبه ی صفر است. اثبات این ویژگی ها ساده است و تنها با بکار بردن تعریف به دست می آید. برای نمونه نشان می دهیم که تابع خارج قسمت، همگن مرتبه ی صفر است. اکنون آمادگی پذیرش مفهوم معادله دیفرانسیل ِ همگن هستیم : تعریف معادله دیفرانسیل همگن : اگر توابع ، در معادله دیفرانسیل مرتبه اول ِ توابعی همگن ِ همدرجه ، مثلا ً از درجه ی n باشند، آنگاه گوییم معادله معادله دیفرانسیل همگن مرتبه ی n است. این تعریف همسنگ تعریف زیر است : معادله ی یک معادله دیفرانسیل همگن است اگر تابع ، همگن از درجه ی صفر باشد. نکته 2.2 : هر تابع ثابت، یک تابع همگن از مرتبه ی صفر است ولی عکس آن درست نیست. یعنی توابع همگن مرتبه ی صفر ، لزوما ً ثابت نیستند. برای نمونه تابع همگن مرتبه ی صفر است که ثابت نیست. چگونگی حل معادله همگن : معادلات همگن ، با یک تغییر متغیر مناسب ، به معادلات جداپذیر تبدیل می شوند. پس می توانستیم این معادلات را در دسته ی معادلات جداپذیر شدنی قرار دهیم؛ اما چون معادلات همگن شکل ونام ویژه ای دارند و حتی دسته ای از معادلات همگن شدنی هستند، آن ها را جداگانه بررسی می کنیم. معادله همگن را در نظر بگیرید. به یاد داریم که تابع ، همگن از مرتبه ی صفر است. پس برای هر t داریم : اکنون اگر به t مقدار ویژه ی را نسبت دهیم ، یعنی قراردهیم ، معادله ی به صورت زیر تبدیل می شود : اکنون تغییر متغیر را انتخاب می کنیم . داریم : و همچنین اکنون در رابطه ی ، از رابطه های و مقدار می گذاریم : که معادله ی ، یک معادله جداپذیر استاندارد بر حسب x و z است که در قسمت های قبل چگونگی حل آن را آموختیم. پس از حل به جای z ، مقدار آن یعنی را قرار می دهیم و معادله حاصل را مرتب می کنیم.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی به مثال زیر توجه کنید . مثال 8.2 : ابتدا نشان دهید معادله ی یک معادله همگن است و سپس جواب عمومی آن را بیابید. حل : در این مثال و هر دو ، توابعی همگن مرتبه ی اول هستند، پس معادله داده شده همگن است. با قرار دادن داریم : و y = z x ، پس : بنابراین : اکنون قرار می دهیم : که این جواب عمومی معادله داده شده است.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی دسته ای از معادلات دیفرانسیل به ظاهر همگن نیستند، اما با تغییر متغیر های مناسب ، می توان آن ها را به معادلات همگن تبدیل نمود. این معادلات این گونه اند : که در آن . ( شما با این شکل از معادلات ، در قسمت معادلات جداشدنی آشنا شده اید. در آنجا ). دقت داریم که a x + b y + c = 0 و a' x + b' y + c' = 0 ، با شرط ، معادلات خطوط متقاطع در صفحه اند. از همین نکته برای به دست آوردن تغییر متغیر استفاده استفاده می کنیم. ابتدا محل تقاطع این دو خط را می یابیم . اگر نقطه ی ، نقطه ی برخورد دو خط باشد، کافی است تغییر متغیر های را انتخاب کنیم. در این صورت . با مثال زیر با ادامه ی روش آشنا می شویم : مثال 9.2 : معادله ی را حل کنید. حل : توجه داریم که و دستگاه دارای جواب است. پس قرار می دهیم : و داریم : اکنون این معادله را به معادله ی همگن تبدیل می کنیم : که با تغییر متغیر خواهیم داشت : بنابراین : که معادله ی ، یک معادله ی جداپذیر استاندارد است و چواب عمومی آن این گونه است : اکنون مقدار را قرار می دهیم : و اگر قرار دهیم خواهیم داشت : که این جواب عمومی معادله ی داده شده است. به این ترتیب فراگرفتیم که چگونه یک معادله به صورت را به معادله ی همگن تبدیل کنیم.
پاسخ : ریاضی - علوم پایه >> ریاضی تعریف معادله دیفرانسیل کامل : معادله دیفرانسیل مرتبه اول را یک معادله دیفرانسیل کامل گوییم هرگاه تابع دو متغیری وجود داشته باشد به طوری که . از درس حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانیم : پس اکر معادله ی یک معادله ی کامل باشد، تابعی مانند وجود دارد به طوری که و چون مشتق تابع f صفر است ، پس باید تابع f تابع ثابتی باشد. یعنی جواب عمومی معادله ی کامل است. مثال : معادله دیفرانسیل کامل است زیرا اگر قرار دهیم ، در این صورت داریم : پس جوای عمومی معادله به صورت خواهد بود. سؤالی که اکنون پیش می آید این است که چگونه می توانیم بفهمیم که معادله دیفرانسیل کامل است؟ آیا حتما ً بایستی تابع f را با شرایط بیابیم و پس از آن بگوییم چون تابع f وجود دارد، پس معادله کامل است، یعنی ابتدا معادله را حل کنیم و سپس بگوییم کامل است؟ که چه بسا زمانی که معادله دیفرانسیل حل شد، دیگر کامل بودن یا نبودن آن برای ما مهم نیست. در واقع ، می خواهیم از کامل بودن ِ معادله ، به جواب آن برسیم نه اینکه از جواب ِ معادله پی به کامل بودن آن ببریم. در قسمت بعد یک شرط لازم و کافی برای تشخیص کامل بودن ِ یک معادله دیفرانسیل بیان کرد و اثبات می کنیم .
